Question

5．如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在AB、AD上，且AE=DF，连接BF与DE相交于点G，连接CG与BD相交于点H．若CG=8，则S_{四边形BCDG}=16$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先根据在菱形ABCD中，AB=BD判断出△ABD为等边三角形，故可得出∠A的度数，再由菱形的性质求出∠BCD的度数，由三角形外角的性质得出点B、C、D、G四点共圆，过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N，根据HL定理得出△CBM≌△CDN，由_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}，S_{四边形CMGN}=2S_△CMG即可得出结论．

解答 解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD．
∵AB=BD，
∴△ABD为等边三角形．
∴∠A=∠BDF=60°．
∴∠BCD=60°，
∵∠BGE=∠BDG+∠DBF=∠BDG+∠GDF=60°=∠BCD，即∠BGD+∠BCD=180°，
∴点B、C、D、G四点共圆，
∴∠BGC=∠BDC=60°，∠DGC=∠DBC=60°．   
∴∠BGC=∠DGC=60°．
过点C作CM⊥GB于M，CN⊥GD于N．
∴CM=CN，
在Rt△CBM与Rt△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{CM=CN}\\{BC=CD}\end{array}\right.$，
∴△CBM≌△CDN（HL），
∴S_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}．S_{四边形CMGN}=2S_△CMG，
∵∠CGM=60°，
∴GM=$\frac{1}{2}$CG，CM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$CG，
∴S_{四边形BCDG}=S_{四边形CMGN}=2S_△CMG=2×$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}$CG×$\frac{\sqrt{3}}{2}$CG=$\frac{\sqrt{3}}{4}$CG²=$\frac{\sqrt{3}}{4}$×8²=16$\sqrt{3}$．
故答案为：16$\sqrt{3}$．

点评 此题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及圆的内接四边形的性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．