Question

如图，在△ABC中，AB=AC，cosA=．以AB为直径作半圆，圆心为O，半圆分别交BC、AC于点D、E．
（1）求证：CD=BD；
（2）求的值；
（3）若过点D的直线与⊙O相切，且交AB的延长线于点P，交AC于点Q，求的值．

Answer 1

（1）证明：连结AD，
∵点D在以AB为直径作半圆上，
∴AD⊥BC，
又∵AB=AC，
∴CD=BD；
（2）连结EB，
∵点E在以AB为直径作半圆上，
∴BE⊥AC，
在Rt△AEB中，cos∠EAB=，
∴=，
设AE=4k，则AB=5k，
又∵AB=AC，
∴CE=AC-AE=5k-4k=k，
∴==；
（3）连结OD，
∵CD=BD，AO=BO，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥AC，
∵过点D的直线PQ与⊙O相切，
∴OD⊥PQ，
过B作BH⊥PQ，H为垂足，
∴BH∥OD∥AC，
在△DBH和△DCQ中，
，
∴△DBH≌△DCQ（AAS），
∴QC=BH，
在Rt△PBH中，cos∠HBP=，
∴=cos∠HBP=cos∠BAC，
∵cos∠BAC=，
∴=，即=．
分析：（1）连接AD，由AB为圆的直径，利用直径所对的圆周角为直角得到AD⊥BC，再由AB=AC，利用三线合一即可得证；
（2）连接EB，由AB为直径，利用直径所对的圆周角为直角得到BE⊥EC，在直角三角形AEB中，由cos∠EAB的值，设设AE=4k，得到AB=5k，由CE=AC-AE=5k-4k=k，即可求出CE与AE的比值；
（3）连接OD，过B作BH垂直于PQ，由D为BD中点，O为AB中点，得到OD为三角形ABC的中位线，利用中位线定理得到OD平行与AC，由PQ为圆的切线，利用切线的性质得到OD垂直于PQ，进而得到AC，OD及BH互相平行，利用两直线平行内错角相等得到一对直角相等，再由一对对顶角相等及BD=CD，利用AAS得到三角形BDH与三角形CDQ全等，由全等三角形的对应边相等得到BH=CQ，在Rt△PBH中，cos∠HBP=cos∠BCA，由cos∠BAC的值，求出cos∠HBP的值，即为BH与BP的比值，等量代换即可求出CQ与BP的比值．
点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及等腰三角形的性质，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．