Question

如图，直线与y=2x双曲线相交于点A、E，直线AB与双曲线交于点B，与x轴、y轴分别交于点C、D，且B点横坐标等于纵坐标的两倍，直线EB交x轴于点F，
（1）求直线AB的解析式；
（2）求证：△COD∽△CBF．

Answer 1

解：（1）∵直线与y=2x双曲线相交于点A、E，
∴，
解得：，，
∴A点坐标为：（-2，-4），E点坐标为：（2，4），
∵B点横坐标等于纵坐标的两倍，
∴设B点坐标为：（2x，x），
∴2x•x=8，
即x ²=4，
解得：x₁=2，x₂=-2（不合题意舍去），
∴B点坐标为：（4，2），
设直线AB的解析式为：y=ax+b，
故将A，B点坐标代入解析式得：
，
解得：，
故直线AB的解析式为：y=x-2；

（2）过点B作BM⊥OF于点M，
∵直线AB的解析式为：y=x-2，
∴y=0时，x=2，则图象与x轴交于点C（2，0），进而得出图象与y轴交于点（0，2），
∴DO=CO=2，
∴CD=2，
设直线EB的解析式为：y=cx+d，
将E，B点代入得：，
解得：，
故直线EB的解析式为：y=-x+6，
当y=0，则x=6，
故F点坐标为：（6，0），
则FC=4，
又∵B点坐标为：（4，2），CO=2，
∴MO=4，BM=2，
∴CM=2，MF=2，
∴BC=CF=2，
∵====，
∴△COD∽△CBF．
分析：（1）利用两函数联立求出A，E点的坐标，进而利用反比例函数解析式得出B点坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式即可；
（2）首先求出EB的解析式，进而得出F点坐标，再得出OD，OC，CD，FC，BC，BF的长度进而利用三边关系得出△COD∽△CBF．
点评：此题主要考查了反比例函数的综合应用以及待定系数法求一次函数解析式以及相似三角形的判定等知识，根据待定系数法求出EB的函数解析式是解题关键．