Question

已知二次函数y=ax²+bx+3图象的对称轴为直线x=1．
（1）用含a的代数式表示b；
（2）若一次函数y=kx+5的图象经过点A（4，1）及这个二次函数图象的顶点，求二次函数y=ax²+bx+3的解析式；
（3）在（2）的条件下，若点P（T，2T）在二次函数y=ax²+bx+3图象上，则点P叫作图象上的2倍点，求出这个二次函数图象上的所有2倍点的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据抛物线的直线方程x=-

b

2a

=1，即可求出b和a的关系；
（2）把A（4，1）代入一次函数y=kx+5即可求出k的值，设抛物线顶点坐标为（1，n），代入y=-x+5中，可得n=-1+5=4，所以抛物线顶点坐标为（1，4），代入y=ax²-2ax+3中，可得a=-1；
（3）因为P（T，2T）在二次函数y=ax²+bx+3图象上，所以可代入求出符合题意的T值．

解答：解：（1）由题意，得x=-

b

2a

=1，
∴b=-2a且a≠0；

（2）由直线y=kx+5过点A（4，1），
∴1=4k+5，解得k=-1，
∴y=-x+5，
设抛物线顶点坐标为（1，n），代入y=-x+5中，可得n=-1+5=4，
∴抛物线顶点坐标为（1，4），
代入y=ax²-2ax+3中，可得a=-1，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3；

（3）∵点P（T，2T）在抛物线上
∴2T=-T²+2T+3，
解得T=±

3

，
∴这个抛物线上的2倍点有两个，分别是（

3

，2

3

）和（-

3

，-2

3

）．

点评：本题考查了二次函数的性质运用和一次函数交点的问题，解决此类问题时，先根据给定的函数或函数图象判断出系数的符号，然后判断新的函数关系式中系数的符号，再根据系数与图象的位置关系判断出图象特征，则符合所有特征的图象即为正确选项．