Question

如图，在△ABC中，已知∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：
①四边形CEDF有可能成为正方形；②△DFE是等腰直角三角形；③四边形CEDF的面积是定值；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确的结论是（ ）

A．①④
B．②③
C．①②④
D．①②③④

Answer 1

【答案】分析：①当E为AC中点，F为BC中点时，四边形CEDF为正方形；
②作常规辅助线连接CD，由SAS定理可证△CDF和△ADE全等，从而可证∠EDF=90°，DE=DF．所以△DFE是等腰直角三角形；
③由②△ADE≌△CDF，就有S_△ADE=S_△CDF，再通过等量代换就可以求出结论；
④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，当DF与BC垂直，即DF最小时，FE取最小值2，此时点C到线段EF的最大距离．
解答：解：①当E、F分别为AC、BC中点时，四边形CDFE是正方形，故此选项正确；
②①连接CD；
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB；
∵在△ADE和△CDF中，

∴△ADE≌△CDF（SAS）；
∴ED=DF，∠CDF=∠EDA；
∵∠ADE+∠EDC=90°，
∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°，
∴△DFE是等腰直角三角形．故此选项正确；
③∵△ADE≌△CDF，
∴S_△ADE=S_△CDF．
∵S_{四边形CEDF}=S_△CED+S_△CFD，
∴S_{四边形CEDF}=S_△CED+S_△AED，
∴S_{四边形CEDF}=S_△ADC．
∵S_△ADC=S_△ABC=4．
∴四边形CEDF的面积是定值4，故本选项正确；
④④△DEF是等腰直角三角形，DE=EF，
当EF∥AB时，∵AE=CF，
∴E，F分别是AC，BC的中点，故EF是△ABC的中位线，
∴EF取最小值==2，
∵CE=CF=2，
∴此时点C到线段EF的最大距离为EF=．故此选项正确．
故选D．
点评：本题主要考查了全等三角形的判定与性质以及正方形、等腰三角形、直角三角形性质等知识，根据图形利用割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积是解题关键．