Question

已知等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC

（1）发现：如图1，当点E在AB上且点C和点D重合时，若点M、N分别是DB、EC的中点，则MN与EC的位置关系是

 

，MN与EC的数量关系是

 

（2）探究：若把（1）小题中的△AED绕点A旋转一定角度，如图2所示，连接BD和EC，并连接DB、EC的中点M、N，则MN与EC的位置关系和数量关系仍然能成立吗？若成立，请以逆时针旋转45°得到的图形（图3）为例给予证明位置关系成立，以顺时针旋转45°得到的图形（图4）为例给予证明数量关系成立，若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等腰直角三角形的性质以及三角形中位线定理得出得出MN与EC的位置关系和MN与EC的数量关系；
（2）首先得出△EDM≌△FBM（SAS），进而求出△EAC≌△FBC（SAS），即可得出∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°，进而得出MN⊥EC，再利用△EDM≌△FBM（AAS），
得出，MN与EC的数量关系．

解答：解：（1）MN⊥EC，MN=

1

2

EC；
理由：∵当点E在AB上且点C和点D重合时，点M、N分别是DB、EC的中点，
∴MN是三角形BED的中位线，
∴MN

∥

.

1

2

BE，
∵等腰Rt△ABC和等腰Rt△AED中，∠ACB=∠AED=90°，且AD=AC，
∴BE=DE，∠AED=90°，
∴MN与EC的位置关系是：MN⊥EC，MN与EC的数量关系是：MN=

1

2

EC．
故答案为：MN⊥EC，MN=

1

2

EC；

（2）MN⊥EC，MN=

1

2

EC；
理由：如图3，连接EM并延长到F，使EM=MF，连接CM、CF、BF．
在△EDM和△FBM中，

DM=MB ∠EMD=∠FMB ME=FM

，
∴△EDM≌△FBM（SAS），
∴BF=DE=AE，∠FBM=∠EDM=135°，
∴∠FBC=∠EAC=90°，
在△EAC和△FBC中，

AE=BF ∠EAC=∠FBC AC=BC

，
∴△EAC≌△FBC（SAS），
∴FC=EC，∠FCB=∠ECA，
∴∠ECF=∠FCB+∠BCE=∠ECA+∠BCE=90°，
∴EC⊥FC，
又∵点M、N分别是EF、EC的中点，
∴MN∥FC，
∴MN⊥EC，
如图4，连接EM并延长交BC于F，
∵∠AED=∠ACB=90°，
∴DE∥BC，
∴∠DEM=∠BFM，∠EDM=∠MBF，
在△EDM和△FBM中，

∠MFB=∠DEM ∠FBM=∠EDM BM=DM

，
∴△EDM≌△FBM（AAS），
∴BF=DE=AE，EM=FM，
∴MN=

1

2

FC=

1

2

（BC-BF）=

1

2

（AC-AE）=

1

2

EC．

点评：此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及等腰直角三角形的性质和三角形中位线定理等知识，熟练利用三角形中位线定理是解题关键．