Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，AB为直径，∠ABC=30°，CD是⊙O的切线，E为AC延长线上一点，ED⊥AB于F．
（1）判断△DCE的形状；
（2）设⊙O的半径为1，且OF=，求证：△DCE≌△OCB．

Answer 1

（1）解：∵∠ABC=30°，
∴∠BAC=60°．
又∵OA=OC，
∴△AOC是正三角形．
又∵CD是切线，
∴∠OCD=90°．
∴∠DCE=180°-60°-90°=30°．
而ED⊥AB于F，
∴∠CED=90°-∠BAC=30°．
故△CDE为等腰三角形．

（2）证明：∵CD是⊙O的切线，
∴∠OCD=90°，
∵∠BAC=60°，AO=CO，
∴∠OCA=60°，∵∠DCE=30°．
∴A，C，E三点同线
在△ABC中，
∵AB=2，AC=AO=1，
∴BC==．
∵OF=，
∴AF=AO+OF=．
又∵∠AEF=30°，
∴AE=2AF=+1，
∴CE=AE-AC==BC，
而∠OCB=∠ACB-∠ACO=90°-60°=30°=∠ABC；
故△CDE≌△COB．
分析：（1）易得△AOC是正三角形，故有∠E=30°，由∠OCD=90°和平角的概念可得∠DCE=30°=∠E，所以DE=CD；进而可知此三角形为等腰三角形．
（2）由勾股定理求得BC=，然后由直角三角形的性质，求得CE=，即可证得△DCE≌△OCB．
点评：本题利用了直径对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，勾股定理，切线的性质，直角三角形的性质求解．