Question

如图，已知反比例函数的图象经过点（，8），直线y=-x+b经过该反比例函数图象上的点Q（4，m）．
（1）求上述反比例函数和直线的函数表达式；
（2）设该直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，与反比例函数图象的另一个交点为P，连接0P、OQ，求△OPQ的面积．
（3）根据图象回答：当x为何值时，一次函数的函数值不小于反比例函数的函数值．

Answer 1

解：（1）将x=，y=8代入反比例解析式得：8==4，即k=4；
∴反比例解析式为y=，将Q坐标代入反比例解析式得：m=1，
∴Q（4，1），
将Q坐标代入直线解析式得：1=-4+b，即b=5，
故直线解析式为y=-x+5；
（2）将两函数解析式联立得：，
解得：或，
∴P（1，4），
对于直线y=-x+5，令x=0，求得y=5，令y=0求得x=5，
∴A（5，0），B（0，5），又P（1，4），Q（4，1），
∴OA=5，OB=5，
∴S_△OPQ=S_△AOB-S_△BOP-S_△AOQ
=OA•OB-OB•x_P横坐标-OA•x_Q纵坐标
=×5×5-×5×1-×5×1
=7.5；

（3）由图象可得：当1≤x≤4或x＜0时，一次函数的函数值不小于反比例函数的函数值．
分析：（1）将点（，8）代入反比例解析式中求出k的值，确定出反比例解析式，将Q坐标代入反比例解析式求出m的值，确定出Q坐标，将Q坐标代入直线解析式中求出b的值，即可确定出直线解析式；
（2）对于直线AB，令x=0求出对应y的值，确定出B的坐标；令y=0求出对应x的值，确定出A的坐标，进而得出OA与OB的长，三角形OPQ的面积=直角三角形AOB的面积-三角形BOP的面积-三角形AOQ的面积，求出即可；
（3）由P与Q的横坐标，利用函数图象找出一次函数图象在反比例函数图象上方时x的范围即可．
点评：此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，数形结合的思想，坐标与图形性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．