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(2010•徐汇区二模)已知:如图,在平面直角坐标系中,点B在x轴上,以3为半径的⊙B与y轴相切,直线l过点A(-2,0),且和⊙B相切,与y轴相交于点C.
(1)求直线l的解析式;
(2)若抛物线y=ax2+bx+c(a>0)经过点O和B,顶点在⊙B上,求抛物线的解析式;
(3)若点E在直线l上,且以A为圆心,AE为半径的圆与⊙B相切,求点E的坐标.

【答案】分析:(1)过B作BD⊥直线l于D,由于直线l与⊙B相切,那么BD=3,进而可求得AD=4,即可得到∠CAO的余切值,从而在Rt△CAO中,根据OA的长,求得OC的值,也就能得到C点的坐标,进而可利用待定系数法求得直线l的解析式;
(2)若抛物线同时经过O、B两点,那么抛物线的顶点必为线段OB的垂直平分线与⊙B的交点,过OB的中点F作OB的垂线,交⊙B于H,那么点H即为抛物线的顶点,连接BH,通过解直角三角形,易求得BF、FH的长,即可得到点H的坐标,然后可利用待定系数法求得该抛物线的解析式;
(3)此题要分两种情况考虑:
①两圆外切,那么AE=AO=2,利用∠CAO的正弦值和余弦值,即可求得点E的坐标,
②两圆内切,那么AE=8,同①可求得点E的坐标.
解答:解:(1)过B作BD垂直l交于点D,
∵⊙B与l相切,
∴BD=3,
在Rt△ADB中,AB=5,
在Rt△ACO、Rt△ADB中,cot∠CAO=
∵AO=2,
∴CO=1.5.
设直线l的解析式为y=kx+1.5,A(-2,0)代入



(2)过OB的中点F作HF垂直于x轴交⊙B于点H,连接BH.
∵在Rt△HFB中,BH=3,BF=1.5,


将O(0,0)、B(3,0)、代入y=ax2+bx+c(a>0),


(3)当两圆外切时,AE=2,
作EN⊥x轴于点N.则△AEN∽△ABD,
=,即=,解得:EN=
把y=代入y=x+1.5得:x=-,则E的坐标是:(-),
同理,当E在A的左侧时坐标是:(-,-);
当两圆内切时,AE=8,同上可求得:E()或(-,-).
点评:此题主要考查了切线的性质、解直角三角形、函数解析式的确定、抛物线的对称性、圆与圆的位置关系等知识,难度适中.
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