Question

如图，M为线段AB的中点，AE与BD交于点C，∠DME=∠A=∠B=α，且DM交AC于F，ME交BC于G
（1）求证：△AMF∽△BGM；
（2）连接FG，如果α=45°，AB=，BG=3，求FG的长．

Answer 1

（1）证明：∵∠DME=∠A=∠B=α，
∴∠AMF+∠BMG=180°-α，
∵∠A+∠AMF+∠AFM=180°，
∴∠AMF+∠AFM=180°-α，
∴∠AFM=∠BMG，
∴△AMF∽△BGM；

（2）解：当α=45°时，可得AC⊥BC且AC=BC，
∵M为AB的中点，
∴AM=BM=2，
∵△AMF∽△BGM，
∴，
∴AF===，AC=BC=4•cos45°=4，
∴CF=AC-AF=4-=，CG=BC-BG=4-3=1，
∴FG===．
分析：（1）由∠DME=∠A=∠B=α，易得∠AMF+∠BMG=180°-α，∠AMF+∠AFM=180°-α，即可得∠AFM=∠BMG，然后由有两角对应相等的三角形相似，即可证得△AMF∽△BGM；
（2）由α=45°，可得AC⊥BC且AC=BC，又由△AMF∽△BGM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得AF的长，继而可求得CF与CG的长，然后由勾股定理求得FG的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质与判定以及勾股定理．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．