Question

3．在正方形ABCD中，E为CD边上一点，F为AD边上一点．
（1）若BE=CF．
①如图①，CF可由BE绕某一点P顺时针旋转90°得到，请利用尺规作出点P（保留作图痕迹，不写作法）；
②如图②，分别连接EF、BF，如果AB=4，那么△FBE的面积有可能等于7吗？若有可能，请求出此时CE的长；若不可能，请说明理由；
（2）如图③，G为CB边上一点，满足FG⊥BE，垂足为H．请直接写出EF+BG与$\sqrt{2}$BE的大小关系．

Answer 1

分析 （1）①连接BF，点P是两组对应点中垂线的交点．
②首先根据全等三角形的判定方法，判断出Rt△FDC≌Rt△ECB，即可推得FD=EC；然后设EC=x，则FD=x，DE=4-x，求出S_△FBE关于x的解析式；最后根据△FBE的面积等于7，求出CE的长是多少即可．
（2）首先作BM∥EF，BM=EF，连接MF，作CN∥GF，判断出FG=NC，再根据Rt△NDC≌Rt△ECB，判断出NC=EB，推得FG=EB；然后判断出四边形MBEF是平行四边形，推得MF=EB，再根据∠FHE=90°，MF∥BE，可得∠MFG=90°，所以MF²+FG²=MG²，即${MG}^{2}={2FG}^{2}，MG=\sqrt{2}FG$，据此判断出$EF+BG＞\sqrt{2}BE$；最后判断出若点F与点A重合，点E与点D重合时，EF$+BG=BM+BG=\sqrt{2}FG=\sqrt{2}BE$，推得EF+BG与$\sqrt{2}$BE的大小关系即可．

解答 解：（1）①如图①，连接BF，．

②如图②，，
在正方形ABCD中，AB=AD=DC=BC，
在Rt△FDC和Rt△ECB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CF=BE}\\{DC=CB}\end{array}\right.$（HL）
∴Rt△FDC≌Rt△ECB，
∴FD=EC，
设EC=x，则FD=x，DE=4-x，
∴S_△FBE=S_{四边形FDCB}-S_△FDE-S_△EBC
=$\frac{4（x+4）}{2}-\frac{（4-x）x}{2}-\frac{4x}{2}$
=$\frac{1}{2}$x²-2x+8
若△FBE的面积等于7，
则$\frac{1}{2}$x²-2x+8=7，
解得${x}_{1}=2+\sqrt{2}$，${x}_{2}=2-\sqrt{2}$，
即CE的长是2$+\sqrt{2}$或2-$\sqrt{2}$．

（2）如图③，作BM∥EF，BM=EF，连接MF，作CN∥GF，，
∵FN∥CG，CN∥GF，
∴四边形FGCN为平行四边形，
∴FG=NC，
由（1），可得
Rt△NDC≌Rt△ECB，
∴NC=EB，
∴FG=EB，
∵BM∥EF，BM=EF，
∴四边形MBEF是平行四边形，
∴MF=EB，
∴MF=FG，
又∵∠FHE=90°，MF∥BE，
∴∠MFG=90°，
∴MF²+FG²=MG²，
即${MG}^{2}={2FG}^{2}，MG=\sqrt{2}FG$，
∵BM=EF，
∴EF+BG=BM+BG，
在△MBG中，BM+BG＞MG，
即EF$+BG＞\sqrt{2}FG$，
∴$EF+BG＞\sqrt{2}BE$，
若点F与点A重合，点E与点D重合时，
EF$+BG=BM+BG=\sqrt{2}FG=\sqrt{2}BE$，
综上，可得
EF+BG≥$\sqrt{2}$BE．

点评 （1）此题主要考查了四边形综合题，考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用．
（2）此题还考查了全等三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握．
（3）此题还考查了直角三角形的性质和应用，以及勾股定理的应用，要熟练掌握．