Question

18．如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=x²+bx+c过A，B．C三点，点A的坐标是（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）动点P在抛物线上，且在直线AC下方，过动点P作PE垂直x轴于点E，交直线AC于点D，求线段PD的最大值，并求出此时点P的坐标．
（3）是否存在点D，使得四边形PDOC为平行四边形？若存在，求D的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）利用抛物线的对称性可求得B（-1，0），将点A和点B的坐标代入抛物线的解析式可求得b、c的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）先求得直线AC的解析式，设点P（x，x²-2x-3）则D（x，x-3），然后得到PD的长与x的函数关系式，从而可求得PD的最大值以及点P的坐标；
（3）当OC为平行四边形的边时，则OC∥PD且OC=PD，以得到点D的坐标；当OC为对角线时，设点D的坐标为（x，y），由中点坐标公式可求得点D的坐标．

解答 解：（1）∵点A的坐标是（3，0），抛物线的对称轴为直线x=1，
∴B（-1，0）．
将点A和点B的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{1-b+c=0}\end{array}\right.$，解得：b=-2，c=-3．
∴抛物线的解析式为y=x²-2x-3．
（2）如图所示：

当x=0，y=-3，则C（0，-3）．
设直线AC的解析式为y=kx-3，将点A的坐标代入得：3k-3=0，解得：k=1，
∴直线AC的解析式为y=x-3．
设点P（x，x²-2x-3）则D（x，x-3）．
∴PD=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$．
∴当x=$\frac{3}{2}$时，PD的最大值为$\frac{9}{4}$．
∴P（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）．
（3）当OC为平行四边形的边时，则OC∥PD且OC=PD．
∴点D的坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{27}{4}$）．
当OC为对角线时，
设点D的坐标为（x，y），由中点坐标公式可知：$\frac{x+\frac{3}{2}}{2}$=0，$\frac{y-\frac{15}{4}}{2}$=$\frac{0-3}{2}$．
解得：x=-$\frac{3}{2}$，y=$\frac{3}{4}$．
∴点D的坐标为（-$\frac{3}{2}$，$\frac{3}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{3}{4}$）或（$\frac{3}{2}$，-$\frac{27}{4}$）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，列出PD的长与x的函数关系是解答问题（2）的关键；分类讨论是解答问题（3）的关键．