Question

8．在直角坐标系中，有点A（0，1），B（5，3），点M、N在x轴上且MN=1，当四边形AMNB周长最短时，求点M、N的坐标．

Answer 1

分析 作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（0，-1），把A′向右平移1个单位得到点B′（1，-1），连接BB′，与x轴交于点D，易得四边形A′B′NM为平行四边形，得到MA′=NB′=MA，则AM+BN=BB′，根据两点之间线段最短得到此时AM+BN最小，即四边形AMNB的周长最短．然后用待定系数法求出直线BB′的解析式y=6x-16，易得N点坐标，再根据MN=1即可求得M的坐标．

解答 解：作点A关于x轴的对称点A′，则A′的坐标为（0，-1），把A′向右平移1个单位得到点B'（1，-1），连接BB′，与x轴交于点N，过A′作A′M∥B′N交x轴于M，如图，
∴MA′=MA，
∵A′M∥B′N，
∴四边形AMNB为平行四边形，
∴MA′=NB′，
∴MA=NB′，
∴AM+BN=BB′，此时AM+BN最小，
而MN与AB的长一定，
∴此时四边形AMNB的周长最短．
设直线BB′的解析式为y=kx+b，
把B（5，3）、B'（1，-1）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{5k+b=3}\\{k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得k=1，b=-2，
∴直线BB′的解析式为y=x-2，
令y=0，则x-2=0，
解得x=2，
∴N点坐标为（2，0），
∵MN=1，
∴M（1，0）．

点评 本题考查了轴对称-最短路线问题：通过对称，把两条线段的和转化为一条线段，利用两点之间线段最短解决问题．也考查了坐标变换以及待定系数法求一次函数的解析式．