Question

已知：如图：AD⊥BC于D，点E是边AB上一动点，四边形EFGH是矩形，其中点F，G在BC上，点H在AC上．
（1）若AD=BC，试探讨矩形EFGH的周长与高AD的数量关系；
（2）若矩形EFGH的面积是△ABC的面积的一半，求AE与AB的比值．

Answer 1

解（1）矩形EFGH的周长=2AD．理由如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴EH∥BC，
∴△AEH∽△ABC，
∵AD⊥BC于D，
∴，
设AM=x，则DM=AD-x，
∴，
∵AD=BC，
∴EH=x，
∵EF=DM=AD-x，
∴矩形EFGH的周长=2（EH+EF）=2（x+AD-x）=2AD，
∴矩形EFGH的周长=2AD；

（2）∵S_△ABC=BC•AD，S_矩形EFGH=EH•EF=EH•DM，
若矩形EFGH的面积是△ABC的面积的一半，
即BC•AD=2EH•DM，
∴BC•AD=4EH•DM，
∵，DM=AD-AM
∴EH=，
∴BC•AD=4•（AD-AM），
即AD²=4AM•AD-4AM²，
∴（AD-2AM）²=0，
∴AD=2AM，
∵EH∥BC，
∴=．
分析：（1）由矩形的性质可得：EH∥BC，所以△AEH∽△ABC，利用相似三角形的性质：对应高之比等于相似比即可得到矩形EFGH的周长与高AD的数量关系；
（2）根据矩形的面积公式和三角形的面积公式分别把矩形EFGH的面积和△ABC的面积，利用图形中的线段表示出来，由（1）可知，所以EH=，代入BC•AD=4EH•DM，进一步整理得到关于AD和2AM的完全平方公式，问题得解．
点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质以及矩形的面积和三角形的面积公式的运用，题目的设计很新颖，特别是第二问根据条件得到比例式，再进一步整理得到完全平方公式是解题的突破口．