Question

如图所示，某地有一座圆弧形的拱桥，桥下水面宽为12米，拱顶高出水面4米．
（1）求这座拱桥所在圆的半径．
（2）现有一艘宽5米，船舱顶部为正方形并高出水面3.6米的货船要经过这里，此时货船能顺利通过这座拱桥吗？请说明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）首先连接OA，设这座拱桥所在圆的半径为x米，由垂径定理，易得方程：x²=（x-4）²+6²，解此方程即可求得答案；
（2）连接OM，设MN=5米，可求得此时OH的高，即可求得OH-OD的长，比较3.6米，即可得到此时货船能否顺利通过这座拱桥．
解答：解：（1）连接OA，
根据题意得：CD=4米，AB=12米，
则AD=AB=6（米），
设这座拱桥所在圆的半径为x米，
则OA=OC=x米，OD=OC-CD=（x-4）米，
在Rt△AOD中，OA²=OD²+AD²，
则x²=（x-4）²+6²，
解得：x=6.5，
故这座拱桥所在圆的半径为6.5米．

（2）货船不能顺利通过这座拱桥．理由：
连接OM，
设MN=5米，
∵OC⊥MN，
∴MH=MN=2.5（米），
在Rt△OMH中，OH==6（米），
∵OD=OC-CD=6.5-4=2.5（米）
∵OH-OD=6-2.5=3.5（米）＜3.6米，
∴货船不能顺利通过这座拱桥．
点评：此题考查了垂径定理的应用．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想与方程思想的应用．