Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，AB＝BC ， 对角线BD平分∠ABC ， P是BD上一点，过点P作PM⊥AD ， PN⊥CD ， 垂足分别为M ， N ．

（1）求证：∠ADB＝∠CDB；
（2）若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．

Answer 1

【答案】
（1）

解答：证明：∵对角线BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD，在△ABD和△CBD中， ，

∴△ABD≌△CBD（SAS），

∴∠ADB＝∠CDB．

（2）

解答：证明：∵PM⊥AD，PN⊥CD

∴∠PMD＝∠PND＝90°，∵∠ADC＝90°，

∴四边形MPND是矩形，

∵∠ADB＝∠CDB，

∴∠ADB＝45°，

∴PM＝MD，

∴四边形MPND是正方形．

【解析】（1）根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD ， 由全等三角形的性质即可得到：∠ADB＝∠CDB；（2）若∠ADC＝90°，由（1）中的条件可得四边形MPND是矩形，再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形．