Question

12．已知抛物线y=x²+bx-3（b是常数）经过点A（-1，0）．
（1）求该抛物线的解析式和顶点坐标；
（2）P（m，t）为抛物线上的一个动点，P关于原点的对称点为P'．
①当点P'落在该抛物线上时，求m的值；
②当点P'落在第二象限内，P'A²取得最小值时，求m的值．

Answer 1

分析 （1）把A点坐标代入抛物线解析式可求得b的值，则可求得抛物线解析式，进一步可求得其顶点坐标；
（2）①由对称可表示出P′点的坐标，再由P和P′都在抛物线上，可得到关于m的方程，可求得m的值；②由点P′在第二象限，可求得t的取值范围，利用两点间距离公式可用t表示出P′A²，再由点P′在抛物线上，可以消去m，整理可得到关于t的二次函数，利用二次函数的性质可求得其取得最小值时t的值，则可求得m的值．

解答 解：
（1）∵抛物线y=x²+bx-3经过点A（-1，0），
∴0=1-b-3，解得b=-2，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3，
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线顶点坐标为（1，-4）；

（2）①由P（m，t）在抛物线上可得t=m²-2m-3，
∵点P′与P关于原点对称，
∴P′（-m，-t），
∵点P′落在抛物线上，
∴-t=（-m）²-2（-m）-3，即t=-m²-2m+3，
∴m²-2m-3=-m²-2m+3，解得m=$\sqrt{3}$或m=-$\sqrt{3}$；
②由题意可知P′（-m，-t）在第二象限，
∴-m＜0，-t＞0，即m＞0，t＜0，
∵抛物线的顶点坐标为（1，-4），
∴-4≤t＜0，
∵P在抛物线上，
∴t=m²-2m-3，
∴m²-2m=t+3，
∵A（-1，0），P′（-m，-t），
∴P′A²=（-m+1）²+（-t）²=m²-2m+1+t²=t²+t+4=（t+$\frac{1}{2}$）²+$\frac{15}{4}$；
∴当t=-$\frac{1}{2}$时，P′A²有最小值，
∴-$\frac{1}{2}$=m²-2m-3，解得m=$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$或m=$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$，
∵m＞0，
∴m=$\frac{2-\sqrt{14}}{2}$不合题意，舍去，
∴m的值为$\frac{2+\sqrt{14}}{2}$．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、中心对称、二次函数的性质、勾股定理、方程思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用，在（2）①中求得P′点的坐标，得到关于m的方程是解题的关键，在（2）②中用t表示出P′A²是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．