Question

已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．
（1）求证：△ADE∽△CDF；
（2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与?ABCD的面积之比．

Answer 1

考点：切线的性质,勾股定理,平行四边形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：几何综合题

分析：（1）根据平行四边形的性质得出∠A=∠C，AD∥BC，求出∠ADE=∠CDF，根据相似三角形的判定推出即可；
（2）设CF=x，FB=2x，则BC=3x，设EB=y，则AE=3y，AB=4y，根据相似得出

3y

3x

=

x

4y

，求出x=2y，由勾股定理得求出DF=2

3

y，分别求出⊙O的面积和四边形ABCD的面积，即可求出答案．

解答：（1）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠DFC=90°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD∥BC，AB∥CD，
∴∠ADF=∠DFC=90°，
∵DE为⊙O的切线，
∴DE⊥DC，
∴DE⊥AB，
∴∠DEA=∠DFC=90°，
∵∠A=∠C，
∴△ADE∽△CDF；

（2）解：∵CF：FB=1：2，
∴设CF=x，FB=2x，则BC=3x，
∵AE=3EB，
∴设EB=y，则AE=3y，AB=4y，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC=3x，AB=DC=4y，
∵△ADE∽△CDF，
∴

AE

AD

=

CF

CD

，
∴

3y

3x

=

x

4y

，
∵x、y均为正数，
∴x=2y，
∴BC=6y，CF=2y，
在Rt△DFC中，∠DFC=90°，
由勾股定理得：DF=

DC2-FC2

=

(4y)2-(2y)2

=2

3

y，
∴⊙O的面积为π•（

1

2

DC）²=

1

4

π•DC²=

1

4

π（4y）²=4πy²，
四边形ABCD的面积为BC•DF=6y•2

3

y=12

3

y²，
∴⊙O与四边形ABCD的面积之比为4πy²：12

3

y²=π：3

3

．

点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，主要考查学生综合运用性质进行推理和计算的能力．