练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：
    （1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？
    （2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′
    （3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？
    考点：相似形综合题
    专题：压轴题
    分析：（1）过点P作PH⊥AC于H，由△APH∽△ABC，得出
    PH
    BC
    =
    AP
    AB
    ，从而求出AB，再根据
    PH
    3
    =
    5-t
    5
    ，得出PH=3-
    3
    5
    t，则△AQP的面积为：
    1
    2
    AQ•PH=
    1
    2
    t（3-
    3
    5
    t），最后进行整理即可得出答案；
    （2）连接PP′交QC于E，当四边形PQP′C为菱形时，得出△APE∽△ABC，
    AE
    AC
    =
    AP
    AB
    ，求出AE=-
    4
    5
    t+4，再根据QE=AE-AQ，QE=
    1
    2
    QC得出-
    9
    5
    t+4=-
    1
    2
    t+2，再求t即可；
    （3）由（1）知，PE=-
    3
    5
    t+3，与（2）同理得：QE=-
    9
    5
    t+4，从而求出PQ=
    18
    5
    t2-18t+25
    ，
    在△APQ中，分三种情况讨论：①当AQ=AP，即t=5-t，②当PQ=AQ，即
    18
    5
    t2-18t+25
    =t，③当PQ=AP，即
    18
    5
    t2-18t+25
    =5-t，再分别计算即可．
    解答：解：（1）如图甲，过点P作PH⊥AC于H，
    ∵∠C=90°，
    ∴AC⊥BC，
    ∴PH∥BC，
    ∴△APH∽△ABC，
    ∴
    PH
    BC
    =
    AP
    AB
    ，
    ∵AC=4cm，BC=3cm，
    ∴AB=5cm，
    ∴
    PH
    3
    =
    5-t
    5
    ，
    ∴PH=3-
    3
    5
    t，
    ∴△AQP的面积为：
    S=
    1
    2
    ×AQ×PH=
    1
    2
    ×t×（3-
    3
    5
    t）=-
    3
    10
    （t-
    5
    2
    ）2+
    15
    8
    ，
    ∴当t为
    5
    2
    秒时，S最大值为
    15
    8
    cm2．

    （2）如图乙，连接PP′，PP′交QC于E，
    当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，
    ∴△APE∽△ABC，
    ∴
    AE
    AC
    =
    AP
    AB
    ，
    ∴AE=
    AP•AC
    AB
    =
    (5-t)×4
    5
    =-
    4
    5
    t+4
    QE=AE-AQ═-
    4
    5
    t+4-t=-
    9
    5
    t+4，
    QE=
    1
    2
    QC=
    1
    2
    （4-t）=-
    1
    2
    t+2，
    ∴-
    9
    5
    t+4=-
    1
    2
    t+2，
    解得：t=
    20
    13
    ，
    ∵0＜
    20
    13
    ＜4，
    ∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是
    20
    13
    s；

    （3）由（1）知，
    PE=-
    3
    5
    t+3，与（2）同理得：QE=AE-AQ=-
    9
    5
    t+4
    ∴PQ=
    		PE2+QE2
    =
    		(-
    3
    5
    t+3)2+(-
    9
    5
    t+4)2
    =
    18
    5
    t2-18t+25
    ，
    在△APQ中，
    ①当AQ=AP，即t=5-t时，解得：t1=
    5
    2
    ；
    ②当PQ=AQ，即
    18
    5
    t2-18t+25
    =t时，解得：t2=
    25
    13
    ，t3=5；
    ③当PQ=AP，即
    18
    5
    t2-18t+25
    =5-t时，解得：t4=0，t5=
    40
    13
    ；
    ∵0＜t＜4，
    ∴t3=5，t4=0不合题意，舍去，
    ∴当t为
    5
    2
    s或
    25
    13
    s或
    40
    13
    s时，△APQ是等腰三角形．
    点评：此题主要考查了相似形综合，用到的知识点是相似三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的面积公式以及二次函数的最值问题，关键是根据题意做出辅助线，利用数形结合思想进行解答．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，点B、E、C、F在同一直线上，AB=DE，∠B=∠DEF，BE=CF．
    （1）△ABC≌△DEF吗？为什么？
    （2）判断四边形ACFD的形状，并说明理由．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （1）计算：（-2）2-
    		4
    +（
    1
    3
    ）-1-
    1
    2
    sin30°；
    （2）解方程组
    3x+y=4；(1)
    2x-y=1．(2)
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    一辆快车从甲地驶往乙地，一辆慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，匀速行驶设行驶的时间为x（时），两车之间的距离为y（千米），图中的折线表示从两车出发至快车到达乙地过程中y与x之间的函数关系；
    （1）根据图中信息，说明图中点（2，0）的实际意义；
    （2）求图中线段AB所在直线的函数解析式和甲乙两地之间的距离；
    （3）已知两车相遇时快车比慢车多行驶40千米，若快车从甲地到达乙地所需时间为t时，求t的值．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    计算：
    		4
    +|-2|+（-6）×（-
    2
    3
    ）．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：如图，四边形ABCD为平行四边形，以CD为直径作⊙O，⊙O与边BC相交于点F，⊙O的切线DE与边AB相交于点E，且AE=3EB．
    （1）求证：△ADE∽△CDF；
    （2）当CF：FB=1：2时，求⊙O与?ABCD的面积之比．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，已知矩形ABCD，AB在y轴上，AB=2，BC=3，点A的坐标为（0，1），在AD边上有一点E（1，1），过点E的直线平分矩形ABCD的面积，则此直线的解析式为
     
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    在一次夏令营活动中，小明同学从营地A出发，要到A地的北偏东 60°方向的C处，他先沿正东方向走了200m到达B地，再沿北偏东30°方向走，恰能到达目的地C（如图），那么，由此可知，B、C两地相距
     
     m．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    化简：
    MN
    -
    MP
    +
    NP
    =
     
    ．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案