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    已知：等边△ABC的边长为a．
    探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=a；
    探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．
    ①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=a；结论2． AD+BE+CF=a；
    ②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．

    【答案】分析：（1）本题中△ABC为等边三角形，AB=BC=a，∠ABC=60°，求出∠N，∠G的值，在直角△AMB、△CNB中，可以先用a表示出MB，NB然后再表示出MN，这样就能证得MN=a；
    （2）判定①是否成立可通过构建直角三角形，把所求的线段都转化到直角三角形中进行求解；
    判断②是否成立，也要通过构建直角三角形，可根据勾股定理，把所求的线段都表示出来，然后经过化简得出结论②是否正确．
    解答：（1）证明：如图1，∵△ABC为等边三角形，
    ∴∠ABC=60°．
    ∵BC⊥MN，BA⊥MG，
    ∴∠CBM=∠BAM=90°．
    ∴∠ABM=90°-∠ABC=30°．
    ∴∠M=90°-∠ABM=60°．
    同理：∠N=∠G=60°．
    ∴△MNG为等边三角形．
    在Rt△ABM中，BM=a，
    在Rt△BCN中，BN=a，
    ∴MN=BM+BN=a．

    （2）②：结论1成立．
    证明：如图3，过点O作GH∥BC，分别交AB、AC于点G、H，过点H作HM⊥BC于点M，
    ∴∠DGO=∠B=60°，∠OHF=∠C=60°，
    ∴△AGH是等边三角形，
    ∴GH=AH．
    ∵OE⊥BC，
    ∴OE∥HM，
    ∴四边形OEMH是矩形，
    ∴HM=OE．
    在Rt△ODG中，OD=OG•sin∠DGO=OG•sin60°=OG，
    在Rt△OFH中，OF=OH•sin∠OHF=OH•sin60°=OH，
    在Rt△HMC中，HM=HC•sinC=HC•sin60°=HC，
    ∴OD+OE+OF=OD+HM+OF=OG+HC+OH
    =（GH+HC）=AC=a．

    （2）②：结论2成立．
    证明：如图4，连接OA、OB、OC，根据勾股定理得：
    BE2+OE2=OB2=BD2+OD2①，
    CF2+OF2=OC2=CE2+OE2②，
    AD2+OD2=AO2=AF2+OF2③，
    ①+②+③得：BE2+CF2+AD2=BD2+CE2+AF2，
    ∴BE2+CF2+AD2=（a-AD）2+（a-BE）2+（a-CF）2=a2-2AD•a+AD2+a2-2BE•a+BE2+a2-2CF•a+CF2
    整理得：2a（AD+BE+CF）=3a2
    ∴AD+BE+CF=a．
    点评：本题中综合考查了等边三角形的判定和性质，解直角三角形等知识点，由于知识点比较多，本题的难度比较大．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

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    探究（1）：如图1，过等边△ABC的顶点A、B、C依次作AB、BC、CA的垂线围成△MNG，求证：△MNG是等边三角形且MN=
    		3
    a；
    探究（2）：在等边△ABC内取一点O，过点O分别作OD⊥AB、OE⊥BC、OF⊥CA，垂足分别为点D、E、F．
    ①如图2，若点O是△ABC的重心，我们可利用三角形面积公式及等边三角形性质得到两个正确结论（不必证明）：结论1． OD+OE+OF=
    		3
    2
    a；结论2． AD+BE+CF=
    3
    2
    a；
    ②如图3，若点O是等边△ABC内任意一点，则上述结论1，2是否仍然成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．
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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知，等边△ABC的边长AB=2，则其面积为
     
    ．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2013•新华区一模）已知：等边△ABC的面积为S，Dn，En，Fn（n为正整数0分别是AB，BC，CA边上的点，连接DnEn，EnFn，FnDn，可得△DnEnFn．
    如图1，当AD1=BE1=CF1=
    1
    2
    AB时，我们容易得到△D1E1F1是等边三角形，且S△AD1F1=S△D1E1F1=
    1
    4
    S．
    探究论证：
    （1）如图2，当AD2=BE2=CF2=
    1
    3
    AB时，
    ①△D2E2F2是
    等边
    等边
    三角形（填写“等腰”或“等边”或“不等边”）；
    ②S△AD2F2=
    2
    9
    S
    2
    9
    S
    ；S△D2E2F2=
    1
    3
    S
    1
    3
    S
    （用含S的代数式表示）；
    ③请说明以上结论的正确性．
    猜想发现：
    （2）如图3，当ADn=BEn=CFn=
    1
    n+1
    AB时，
    ①△DnEnFn是
    等边
    等边
    三角形（填写“等腰”或“等边”或“不等边”）；
    ②S△ADnFn=
    n
    (n+1)2
    S
    n
    (n+1)2
    S
    ；S△DnEnFn=
    n2-n+1
    (n+1)2
    S
    n2-n+1
    (n+1)2
    S
    （用含S的代数式表示）．
    实际应用：
    （3）学校有一块面积为49m2的等边△ABC空地，按如图4所示分割，其中AD6=BE6=CF6=
    1
    7
    AB，计划在△D6E6F6内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉（即阴影部分）的面积为多少m2？

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    已知：等边△ABC的边长为6厘米，长为1厘米的线段MN在△ABC的边AB上从点A出发，沿AB方向以1厘米/秒的速度向B点运动（运动开始时，点M与点A重合，点N到达点B时运动终止），过点M、N分别作AB边的垂线，与△ABC的其它边交于P、Q两点，线段MN运动的时间为x秒．
    （1）请写出线段MN从出发到终止所需要的时间t；
    （2）线段MN在运动的过程中，x为何值时，四边形MNQP恰为矩形？
    （3）线段MN在运动的过程中，设四边形MNQP的面积为S，运动的时间为x．求四边形MNQP的面积S随运动时间x变化的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．

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