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    （2013•新华区一模）已知：等边△ABC的面积为S，Dn，En，Fn（n为正整数0分别是AB，BC，CA边上的点，连接DnEn，EnFn，FnDn，可得△DnEnFn．
    如图1，当AD1=BE1=CF1=
    1
    2
    AB时，我们容易得到△D1E1F1是等边三角形，且S△AD1F1=S△D1E1F1=
    1
    4
    S．
    探究论证：
    （1）如图2，当AD2=BE2=CF2=
    1
    3
    AB时，
    ①△D2E2F2是
    等边
    等边
    三角形（填写“等腰”或“等边”或“不等边”）；
    ②S△AD2F2=
    2
    9
    S
    2
    9
    S
    ；S△D2E2F2=
    1
    3
    S
    1
    3
    S
    （用含S的代数式表示）；
    ③请说明以上结论的正确性．
    猜想发现：
    （2）如图3，当ADn=BEn=CFn=
    1
    n+1
    AB时，
    ①△DnEnFn是
    等边
    等边
    三角形（填写“等腰”或“等边”或“不等边”）；
    ②S△ADnFn=
    n
    (n+1)2
    S
    n
    (n+1)2
    S
    ；S△DnEnFn=
    n2-n+1
    (n+1)2
    S
    n2-n+1
    (n+1)2
    S
    （用含S的代数式表示）．
    实际应用：
    （3）学校有一块面积为49m2的等边△ABC空地，按如图4所示分割，其中AD6=BE6=CF6=
    1
    7
    AB，计划在△D6E6F6内栽种花卉，其余地方铺草坪，则栽种花卉（即阴影部分）的面积为多少m2？
    分析：（1）①由等边三角形的性质和已知条件可证△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2，得D2E2=E2F2=F2D2，所以△D2E2F2为等边三角形；
    ②由等边三角形的性质和面积公式可求；
    （2）与上问比较，只是分点的位置由原来的三等分点变成了（n+1）等分点，所以做法与（1）完全一样；
    （3）根据AD6=BE6=CF6=
    1
    7
    AB可以推知分点的是6等分点，所以根据（2）中的公式来求得阴影部分的面积．
    解答：解：（1）①等边；②
    2
    9
    S    ，
    1
    3
    S    ；
    ③证明：
    ①∵△ABC为等边三角形，
    ∴AB=BC=AC，∠A=∠B=∠C=60°．
    又∵AD2=BE2=CF2=
    1
    3
    AB，
    ∴AF2=BD2=CE2=
    2
    3
    AB    ，
    则易证△AD2F2≌△BE2D2，△AD2F2≌△CF2E2，△BE2D2≌△CF2E2．（或△AD2F2≌△BE2D2≌△CF2E2）．
    ∴D2F2=E2D2=F2E2，
    ∴△D2E2F2是等边三角形；
    ②如图，过点D2作D2M∥BC，交AC于点M，
    则△AD2M∽△ABC，
    ∴
    AM
    AC
    =
    AD2
    AB
    =
    1
    3
    ，
    ∴AM=
    1
    3
    AC    ，
    ∴点M是的AF2中点．
    ∴
    S△AD2M
    S△ABC
    =(
    AD2
    AB
    )2=(
    1
    3
    )2=
    1
    9
    ，即S△AD2M=
    1
    9
    S    ，
    ∴S△AD2F2=2S△AD2M=
    2
    9
    S    ，S△D2E2F2=S-3S△AD2F2=
    1
    3
    S    ；

    （2）①等边；
    ②
    n
    (n+1)2
    S    ，
    n2-n+1
    (n+1)2
    S    ；

    （3）∵S=49，AD6=BE6=CF6=
    1
    7
    AB    ，
    ∴S△D6E6F6=
    62-6+1
    (6+1)2
    ×49    =31（m2）．
    ∴栽种花卉（即阴影部分）的面积为31m2．
    点评：本题考查了等边三角形等性质，全等三角形的判定与性质以及等边三角形的面积规律．做有规律的题目时，在由特殊到一般的过程中，要善于抓住不变量，找到解题途径．此题比较难，要求学生有比较好的分析问题、解决问题的能力．
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    ③a⊕b=b⊕a；
    ④若a⊕b=0，则a=0或b=1．
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    2013
    2013
    ．

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    a2-4
    a2-4a+4
    -
    2
    a-2
    ）÷
    a2+2a
    a-2
    的值．

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