Question

如图，在△ABC中，E、F分别是AB、AC上的点．有下列条件：①AD平分∠BAC；②DE⊥AB，DF⊥AC；③AD⊥EF，以此三个中的两个作为命题的条件，另一个作为命题的结论，构成三个命题：①②?③；①③?②；②③?①．
（1）以上三个命题中，属于真命题的是

①②?③或②③?①

．
（2）请选择一个真命题进行证明命题（先写出所选命题，然后证明）．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质判断即可；
（2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得DE=DF，再利用“HL”证明Rt△ADE和△Rt△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=AF，然后利用等腰三角形三线合一的性质证明．

解答：（1）解：真命题是①②?③或②③?①；

（2）证明：∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，
在Rt△ADE和△Rt△ADF中，

AD=AD DE=DF

，
∴Rt△ADE≌△Rt△ADF（HL），
∴AE=AF，
又∵AD平分∠BAC，
∴AD⊥EF．

证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC；
∴点A，E，D，F共圆，且AD是直径，
∵AD⊥EF，
∴

DE

=

DF

，
∴∠EAD=∠FAD，
即AD平分∠BAC．

点评：本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，难点在于先确定出真命题．