Question

18．如图，已知A、B、C、D是⊙O上四点，点E在弧AD上，连接BE交AD于点Q，若∠AQE=∠EDC，∠CQD=∠E，求证：AQ=BC．

Answer 1

分析 首先根据圆周角定理，可得∠A=∠E，再根据∠CQD=∠E，可得∠CQD=∠A，所以AB∥CQ；然后根据圆内接四边形的性质，以及∠AQE=∠EDC，判断出BC∥AQ，即可判断出四边形ABCQ是平行四边形，所以AQ=BC，据此解答即可．

解答 证明：如图：
，
根据圆周角定理，可得∠A=∠E，
∵∠CQD=∠E，
∴∠CQD=∠A，
∴AB∥CQ，
∵∠EBC+∠EDC=180°，∠AQB+∠AQE=180°，
∴∠EBC+∠EDC=∠AQB+∠AQE，
∵∠AQE=∠EDC，
∴∠EBC=∠AQB，
∴BC∥AQ，
又∵AB∥CQ，
∴四边形ABCQ是平行四边形，
∴AQ=BC．

点评 （1）此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
（2）此题还考查了平行四边形的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确平行四边形的判定方法，以及平行四边形的性质：①边：平行四边形的对边相等．②角：平行四边形的对角相等．③对角线：平行四边形的对角线互相平分．
（3）此题还考查了圆内接四边形的性质，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①圆内接四边形的对角互补． ②圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角（就是和它相邻的内角的对角）．