Question

6．如图，二次函数y=-x²-x+6的图象与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴正半轴交于点C，点P是该图象上一点，且满足∠ABP=∠ACB，则点P的坐标是（-2，4）或（-4，-6）．

Answer 1

分析 认真审题，首先过点C作CQ∥PB，利用△ACB∽△AQC，求出点Q的坐标，再求出直线PB的解析式，进而得解．

解答 解：当-x²-x+6=0时，
x=2或x=-3，
∵A在B的左侧，
∴A（-3，0），B（2，0），
当x=0时，y=6，
∴C（0，6），
Rt△AOC中，AO=3，CO=6，
AC=$\sqrt{A{O}^{2}+C{O}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{6}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
如图，过点C作CQ∥PB，

∴∠ABP=∠AQC，
∵∠ABP=∠ACB，
∴∠ACB=∠AQC，
又∵∠CAB=∠CAQ，
∴△ACB∽△AQC，
∴$\frac{AC}{AQ}=\frac{AB}{AC}$，
即：AB•AQ=AC²，
设BO=x，
则：AQ=OA+OB=3+x，
AB=3+2=5，
∴45=5（3+x），
解得：x=6，
∴Q（6，0），
设直线CQ的解析式为：y=kx+b，
把点C（0，6）和点Q（6，0）代入可得：
$\left\{\begin{array}{l}{b=6}\\{6k+b=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-1}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线CQ的解析式为：y=-x+6，
∴可设直线PB的解析式为：y=-x+c，
把点B（2，0）代入可得：0=-2+c，
解得：c=2，
∴直线PB的解析式为：y=-x+2，
∴$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+2}\\{y=-{x}^{2}-x+6}\end{array}\right.$，
解得：x=-2或x=2（舍），
∴点P（-2，4）．
由对称性可知，（-4，-6）也是符号要求的点，
故答案为（-2，4）或（-4，-6）．

点评 本题主要考查了相似三角形与二次函数结合的问题，以及直线的解析式的求法，是综合性比较强的题目，注意认真总结．