Question

在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=2BC=2CD，对角线AC与BD相交于点O，线段OA，OB的中点分别为E，F． 
（1）求证：△FOE≌△DOC；
（2）求tan∠BOC的值；  
（3）设△AGE，△EFO，△BFH的面积分别为S₁，S₂，S₃，求S₁：S₂：S₃ 的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,三角形中位线定理,直角梯形

专题：

分析：（1）根据三角形中位线的性质，可得EF与AB的关系，根据ASA，可得证明的结论；
（2）根据正方形的判定与性质，可得DK=BC，根据平行线的性质，可得∠ADC的度数，根据根据角的和差，可得∠ADO的度数，再根据相似三角形的判定与性质，可得DO与BO的关系，根据等角的正切相等，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可得△AGE∽△ADE，△BFH∽△BDC，S△AGE与S△ADC的关系，S_△BFH与S_△ADC的关系，根据等底，高是

1

3

的两个三角形，可得S_△EOF与S_△ADC的关系，根据面积的比，可得答案．

解答：（1）证明：∵EF是△OAB的中位线，
∴EF∥AB，EF=

1

2

AB，
∵AB∥CD，AB=2CD，
∴CD∥AB，CD=

1

2

AB，
∴EF=CD，∠OEF=∠OCD，∠OFE=∠ODC，
在△FOE和△DOC中，

∠OEF=∠ODC EF=CD ∠OFE=∠ODC

∴△FOE≌△DOC（ASA）；
（2）如图：过点D作DK⊥AB，
∴BCDK是正方形，
DK=BC，BK=DC=

1

2

AB=AK，
∴∠DAB=45°，
∵CD∥AB，
∴∠ADC=135°
∵BC=CD，∠BCD=90°
∴∠BDC=45°
∴∠ADO=90°，
∵CD∥AB，
∴△DOC∽△BOA
∴

DO

BO

=

DC

AB

=

1

2

，
设DO=a，BO=2a，
∴AD=BD=3a
∴tan∠BOC=tan∠AOD=3；
（3）∵△FOE≌△DOC，
∴EO=OC，FO=OD，
线段OA，OB的中点分别为E，F
AE=

1

3

AC，FB=

1

3

BD，
∵EF∥AB∥CD
∴△AGE∽△ADE，△BFH∽△BDC，
∴

AE

AC

=

1

3

，

BF

BD

=

1

3

，
∴

S△AGE

S△ADC

=

1

9

，

S△BFH

S△BCD

=

1

9

，
∵△ADC与△BDC等底等高
∴S_△ADC=S_△BDC
∴S_△AGE=S_△BFH
△DOC与△ADC等底，高是

1

3

，
∴S△EOF=S△DOC=

1

3

S△ADC
∴S₁：S₂：S₃₌ 1：3：1．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了相似三角形的判定与性质，等角的正切值相等，等底等高的三角形的面积相等，稍有点难度．