Question

已知：如图，直线y=2x+b与x轴、y轴分别相交于点E、点B（0，3）．
（1）填空：b=

3

；
（2）若直线y=-

1

2

x与直线y=2x+b的交点为A．
①求∠OAB的度数；
②在直线AB的右侧作菱形ABCD，现有抛物线y=（x-m）²+n的顶点T在直线y=-

1

2

x上移动，若此抛物线同时与边AB、AD都相交，试m的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由于直线y=2x+b的函数图象经过点B，将点B的坐标代入直线的解析式中，即可确定b的值．
（2）①首先联立这两条直线的解析式得到点A的坐标；进一步能求出线段OA、AB的长，OB的长易知，然后根据这三边的长判断∠OAB的度数；
②由①知，AB=AD=2OA，那么点O是线段AD的中点，此时发现点A、D关于点O对称，则点D的坐标可得；通过观察图示不难看出，当点T、A重合时，抛物线与线段AB、AD都相交（交于一个公共点A），即m的最小值与点A的横坐标相同，因此只需判断m的最大值即可；此时需要分两步考虑：
Ⅰ、当抛物线的对称轴左侧图象经过点B时，先求出m的值，即可确定抛物线的解析式，然后再判断抛物线的图象是否与线段AD相交，若相交，那么此时的m值即为最大值，若不想交，再考虑下一步；
Ⅱ、当抛物线的对称轴左侧图象经过点D时，方法同上．

解答：解：（1）由题意知，直线y=2x+b经过点B（0，3），则有：
2×0+b=3，b=3；
故填：3．

（2）①联立y=-

1

2

x与y=2x+3，得：

y=- 1 2 x y=2x+3

，
解得

x=- 6 5 y= 3 5

则点A（-

6

5

，

3

5

）；
则：OA²=（-

6

5

）²+（

3

5

）²=

9

5

，AB²=（-

6

5

）²+（3-

3

5

）²=

36

5

，OB²=3²=9；
则OA²+AB²=OB²，即∠OAB=90°．
②依题意，点T（m，n）在直线y=-

1

2

x上，那么 n=-

1

2

m，即抛物线的解析式：y=（x-m）²-

1

2

m，点T（m，-

1

2

m）；
在Rt△OBE中，OE=

3

2

，OB=3，∴tan∠OBE=

1

2

，AB=2OA；
由于四边形ABCD是菱形，那么AD=AB=2OA，即点O是线段AD的中点，则点D（

6

5

，-

3

5

）．
Ⅰ、当点T、A重合时，抛物线同时经过线段AB、AD，此时m=-

6

5

；
Ⅱ、当抛物线的对称轴左侧图象经过点B时，有：
（0-m）²-

1

2

m=3，解得：m₁=2、m₂=-

3

2

（舍）；
故抛物线：y=（x-2）²-1；
当x=

6

5

时，y=（

6

5

-2）²-1=-

9

25

＞-

3

5

，
所以抛物线只与线段AB相交，不与线段AD相交，不合题意；
Ⅲ、当抛物线的对称轴左侧图象经过点D时，由Ⅱ知，抛物线的图象与线段AB、AD都相交；
将点（

6

5

，-

3

5

）代入y=（x-m）²-

1

2

m中，有：
（

6

5

-m）²-

1

2

m=-

3

5

，解得：m₁=

17

10

，m₂=

6

5

（舍）；
综上，m的取值范围：-

6

5

≤m≤

17

10

．

点评：此题的难点在于最后一题，解题的关键是判断m取最大、最小值时，抛物线的图象经过了哪些点；在求m的最大取值时，容易出现错误，有些同学很可能将点D的横坐标直接视为m的最大值，但忽视了抛物线对称轴左侧图象经过点D时的情况，这就需要通过图示作出正确的判断．