Question

（2013•石景山区二模）如图，四边形ABCD、A₁B₁C₁D₁是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形．其中，正方形A₁B₁C₁D₁可以绕中心O旋转，正方形ABCD静止不动．
（1）如图1，当D、D₁、B₁、B四点共线时，四边形DCC₁D₁的面积为

6

_；
（2）如图2，当D、D₁、A₁三点共线时，请直接写出

CD1

DD1

=

4

3

；
（3）在正方形A₁B₁C₁D₁绕中心O旋转的过程中，直线CC₁与直线DD₁的位置关系是

CC₁⊥DD₁

，请借助图3证明你的猜想．

Answer 1

分析：（1）根据题意得出四边形DCC₁D₁是等腰梯形，利用梯形的面积公式求出即可；
（2）由题意得出△AA₁D≌△DD₁C，即可得出DD₁=CC₁，进而利用勾股定理得出答案；
（3）根据题意得出△COC₁≌△DOD₁（SAS），进而得出∠ODD₁=∠OCC₁，即可得出∠CMD=90°得出答案即可．

解答：解：（1）∵四边形ABCD、A₁B₁C₁D₁是两个边长分别为5和1且中心重合的正方形，
∴当D、D₁、B₁、B四点共线时，四边形DCC₁D₁的高为（5-1）÷2=2，
∴S四边形DCC1D1=

1

2

×(1+5)×2=6；
故答案为：6；

（2）∵∠CDD₁+∠ADA₁=90°，∠D₁DC+∠DCD₁=90°，
∴∠DCD₁=∠ADA₁，
在△ADA₁和△DCD₁中，

∠DD1C=∠AA1D ∠D1CD=∠ADA1 CD=AD

，
∴△ADA₁≌△DCD₁（AAS），
∴DD₁=CC₁，
设DD₁=CC₁=x，
∴CD₁=x+1，
∴x²+（x+1）²=5²，
解得：x=3，
∴CD₁=4，
∴

CD1

DD1

=

4

3

；
故答案为：

4

3

；         

（3）CC₁⊥DD₁
证明：连接CO，DO，C₁O，D₁O，
延长CC₁交DD₁于M点．如图3所示：
由正方形的性质可知：CO=DO，C₁O=D₁O，∠COD=∠C₁OD₁=90°，
∴∠COD-∠C₁OD=∠C₁OD₁-∠C₁OD，
即：∠COC₁=∠DOD₁
在△COC₁和△DOD₁中，

OC1=OD1 ∠COC1=∠DOD1 CO=DO

，
∴△COC₁≌△DOD₁（SAS），
∴∠ODD₁=∠OCC₁
∵∠C₁CD+∠OCC₁+∠CDO=90°，
∴∠C₁CD+∠ODD₁+∠CDO=90°，
∴∠CMD=90°
即：CC₁⊥DD₁．
故答案为：CC₁⊥DD₁．

点评：此题主要考查了四边形综合应用以及正方形的性质和全等三角形的判定与性质等知识，根据全等三角形的判定与性质得出△COC₁≌△DOD₁是解题关键．