Question

（2013•德城区二模）如图，已知AB是⊙O的直径，点C在⊙O上，过点C的直线与AB的延长线交于点P，AC=PC，∠COB=2∠PCB．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）求证：BC=

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AB．

Answer 1

分析：（1）欲证PC是⊙O的切线，直线证明OC⊥PC即可；
（2）利用“直角△ACB的斜边上的中线等于斜边的一半”推知OC=

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AB；然后根据等腰△APC的性质，三角形外角的性质证得OC=BC，则BC=

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2

AB．

解答：证明：（1）∵OA=OC，
∴∠A=∠OCA．
又∵∠COB为△AOC的外角，
∴∠COB=2∠OCA，又∠COB=2∠PCB，
∴∠OCA=∠PCB，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠OCA+∠OCB=90°，
∴∠PCB+∠OCB=90°，
∴∠PCO=90°，
∵点C在⊙O上，
∴PC是⊙O的切线；

（2）∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．
又∵点O是斜边AB的中点，
∴OC=

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2

AB．
∵AC=PC，
∴∠A=∠P．
又由（1）知，∠OCA=∠PCB，
∴∠COB=∠OBC，
∴OC=BC=

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AB，即BC=

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2

AB．

点评：此题考查了切线的判定，等腰三角形的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外角性质，利用了转化及等量代换的思想，其中切线的判定方法有两种：有点连接证明垂直；无点作垂线证明垂线段等于半径．