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    （2013•德城区二模）阅读材料：如图，△ABC中，AB=AC，P为底边BC上任意一点，点P到两腰的距离分别为r1，r2，腰上的高为h，连接AP，则S△ABP+S△ACP=S△ABC，即：
    1
    2
    AB•r1+
    1
    2
    AC•r2=
    1
    2
    AB•h，∴r1+r2=h
    （1）理解与应用
    如果把“等腰三角形”改成“等边三角形”，那么P的位置可以由“在底边上任一点”放宽为“在    三角形内任一点”，即：已知边长为2的等边△ABC内任意一点P到各边的距离分别为r1，r2，r3，试证明：r1+r2+r3=
    		3
    ．
    （2）类比与推理
    边长为2的正方形内任意一点到各边的距离的和等于
    4
    4
    ；
    （3）拓展与延伸
    若边长为2的正n边形A1A2…An内部任意一点P到各边的距离为r1，r2，…rn，请问r1+r2+…rn是否为定值（用含n的式子表示），如果是，请合理猜测出这个定值．
    分析：（1）由条件可以求出边长为2的等边三角形的高为
    		3
    ，连接PA，PB，PC，仿照面积的割补法，得出S△PBC+S△PAC+S△PAB=S△ABC，而这几个三角形的底相等，故化简后可得出高的关系．
    （2）如图正方形过正方形内的任一点P向四边做垂线就可以求出到正方形四边的距离和为正方形边长的2倍，从而得出结论．
    （3）问题转化为正n边形时，根据正n边形计算面积的方法，从中心向各顶点连线，可得出n个全等的等腰三角形，用边长2为底，边心距为高，可求正n边形的面积，然后由P点向正n多边形，又可把正n边形分割成n个三角形，以边长为底，以r1、r2、…、rn为高表示面积，列出面积的等式，可求证r1+r2+…+rn为定值．
    解答：解：（1）分别连接AP，BP，CP，作AD⊥BC于D，
    ∴∠ADB=90°，
    ∵△ABC是等边三角形，
    ∴AB=BC=AC=2，∠ABC=60°，
    ∴∠BAD=30°，
    ∴BD=1，在Rt△ABD中，由勾股定理，得
    ∴AD=
    		3

    ∵S△ABP+S△BCP+S△ACP=S△ABC．
    ∴
    1
    2
    AB•r1+
    1
    2
    BC•r2+
    1
    2
    AC•r3=
    1
    2
    BC×AD，
    ∵BC=AC=AB，
    ∴r1+r2+r3=AD．
    ∴r1+r2+r3=
    		3


    （2）如图2，∵四边形ABCD是正方形，
    ∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD=2．
    ∵PE⊥AB，PF⊥BC，PG⊥DC，PH⊥AD，
    ∴四边形PEBF是矩形，四边形PFCG是矩形，四边形PGDH是矩形，四边形PHAE是矩形，
    ∴PE=AH，PF=BE，PG=HD，PH=AE，
    ∴PE+PF+PG+PH=AH+BE+HD+AE=AD+AB=4．
    故答案为4．

    （3）设正n边形的边心距为r，且正n边形的边长为2，
    ∴S正n边形=
    2r
    2
    ×n    ．r=
    1
    tan
    180
    n
    ，
    ∵S正n边形=
    1
    2
    ×2×r1+
    1
    2
    ×2×r2+
    1
    2
    ×2×r1+…+
    1
    2
    ×2×rn，
    ∴
    1
    2
    ×2×r1+
    1
    2
    ×2×r2+
    1
    2
    ×2×r1+…+
    1
    2
    ×2×rn=
    2r
    2
    ×n，
    ∴r1+r2+…+rn=nr=
    n
    tan
    180
    n
    （为定值）．
    点评：本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，正方形的性质及利用面积分割法，求线段之间的关系，充分体现了面积法解题的作用．
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    12
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