Question

20．如图所示，平面直角坐标系中，△ABC的边AB在x轴上，∠C=60°，AC交y轴于点E，AC，BC的长是方程x²-16x+64=0的两个根且OA：OB=1：3，请解答下列问题：
（1）求点C的坐标；
（2）求直线EB的解析式；
（3）在x轴上是否存在点P，使△BEP为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）解方程x²-16x+64=0，可得到AC=BC=8，进而证得△ABC是等边三角形，得到AB=8，再由OA：OB=1：3，得到OA、OB的长，从而求得A、B的坐标即可求得C的坐标；
（2）应用待定系数法即可求得直线AC的解析式，从而求得E的坐标，然后再根据待定系数法即可求得直线EB的解析式；
（3）可设P点坐标为（x，0），则可表示出BP、EP，且可求得BE的长，当△BEP为等腰三角形时，则有BP=EP、BP=BE和EP=BE三种情况，可分别得到关于x的方程，可求得x的值，则可求得P点坐标．

解答 解：
（1）解方程x²-16x+64=0得x₁=8，x₂=8，
∴AC=BC=8，
∵∠A=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=8，
∵OA：OB=1：3，
∴AO=2，OB=6，
过点C作CH⊥x轴于点H，则AH=$\frac{1}{2}$AB=4，CH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$AB=4$\sqrt{3}$，
∴OH=AH-AO=4-2=2，
∴C（2，4$\sqrt{3}$）；
（2）设直线AE解析式为y=kx+b（k≠0），把A（-2，0）、C（2，4$\sqrt{3}$）代入可得$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=0}\\{2k+b=4\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\sqrt{3}}\\{b=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线AC的解析式为y=$\sqrt{3}$x+2$\sqrt{3}$，
令x=0可得y=2$\sqrt{3}$，
∴E（0，2$\sqrt{3}$），
∵B（6，0），
设直线BE的解析式为y=rx+s，
∴$\left\{\begin{array}{l}{6r+s=0}\\{s=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{r=-\frac{\sqrt{3}}{3}}\\{s=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$，
∴直线BE的解析式为y=-$\frac{\sqrt{3}}{3}$x+2$\sqrt{3}$；
（3）设P点坐标为（x，0），
∵B（6，0），E（0，2$\sqrt{3}$），
∴BE=$\sqrt{{6}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=4$\sqrt{3}$，BP=|x-6|，PE=$\sqrt{{x}^{2}+（2\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{{x}^{2}+12}$，
若△BEP为等腰三角形，则有BP=EP、BP=BE和EP=BE三种情况，
①当BP=EP时，则|x-6|=$\sqrt{{x}^{2}+12}$，解得x=2，此时P点坐标为（2，0）；
②当BP=BE时，则4$\sqrt{3}$=|x-6|，解得x=6+4$\sqrt{3}$或x=6-4$\sqrt{3}$，此时P点坐标为（6+4$\sqrt{3}$，0）或（6-4$\sqrt{3}$，0）；
③当EP=BE时，则$\sqrt{{x}^{2}+12}$=4$\sqrt{3}$，解得x=6或x=-6，当x=6时，点E和点B重合，不合题意，舍去，
∴x=-6，此时P点坐标为（6，0）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（2，0）或（6+4$\sqrt{3}$，0）或（6-4$\sqrt{3}$，0）或（6，0）．

点评 本题为一次函数的综合应用，涉及一元二次方程、等边三角形的判定和性质、勾股定理、待定系数法、等腰三角形的性质、方程思想及分类讨论思想等知识．在（1）中求得OA、OB的长是解题的关键，在（2）中求得E点坐标是解题的关键，在（3）中用P点的坐标分别表示出BP和EP的长是解题的关键，注意分三种情况．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．