Question

如图，已知⊙O的圆心O在射线PM上，PN切⊙O于Q，PO=20cm，∠P=30°，A、B两点同时从P点出发，点A沿PN方向移动，点B以4cm/s的速度沿PM方向移动，且直线AB始终垂直PN．设运动时间为t秒，求下列问题．（结果保留根号）
（1）求PQ的长；
（2）当t为何值时直线AB与⊙O相切？

Answer 1

考点：切线的判定与性质,勾股定理

专题：

分析：（1）根据切线的性质，可得OQ⊥PN，根据直角三角形的性质、勾股定理，可得答案；
（2）分类讨论，根据勾股定理，可得BP、AB、AP的关系，根据切线的性质，可得矩形，根据矩形的性质，可得AQ的长度，根据线段的和差，可得答案．

解答：（1）解：连结OQ
∵PN与⊙O相切于点Q
∴OQ⊥PN
∵∠P=30°，OP=20
∴OQ=10，
在Rt△OPQ中，PQ=

PO2-OQ2

=

202-102

=10

3

(cm)；

（2）解：设运动t秒
BP=4t，则AB=2t，AP=2

3

t
①如图，当AB与⊙O切于点E时，连结OE
∴OE⊥AB，
又∵OQ⊥PN，AB⊥PN
∴四边形AEOQ是矩形
∴OE=AQ=10
∴10

3

-2

3

t=10，t=

15-5 3

3

，

②如图，当A′B′与⊙O相切于点F时，连结OF
∴OF⊥A′B′
又∵OQ⊥PN，AB⊥PN
∴四边形A′FOQ是矩形
∴OF=A′Q，
∵A′P-PQ=A′Q
∴2

3

t-10

3

=10，t=

15+5 3

3

∴当t为

15-5 3

3

秒或

15+5 3

3

秒时，直线AB与⊙O相切．

点评：本题考查了切线的性质与判定，利用切线的性质，矩形的性质，线段的和差解题．