如图.在△ABC中.AD是高.AE是角平分线.∠B=20°.∠C=60°．(1)求∠CAD.∠AEC和∠EAD的度数．(2)若图形发生了变化.已知的两个角度数改为:当∠B=30°.∠C=60°则∠EAD= °,当∠B=50°.∠C=60°时.则∠EAD= °,当∠B=60°.∠C=60°时.则∠EAD= °,当∠B=70°.∠C=60°时.则∠EAD= °．(3)若∠B和∠C的度数改� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，∠B=20°，∠C=60°．
（1）求∠CAD、∠AEC和∠EAD的度数．
（2）若图形发生了变化，已知的两个角度数改为：当∠B=30°，∠C=60°则∠EAD=

°；当∠B=50°，∠C=60°时，则∠EAD=

°；
当∠B=60°，∠C=60°时，则∠EAD=

°；当∠B=70°，∠C=60°时，则∠EAD=

°．
（3）若∠B和∠C的度数改为用字母α和β来表示，你能找到∠EAD与α和β之间的关系吗？请直接写出你发现的结论．

考点：三角形内角和定理,三角形的外角性质

专题：

分析：（1）根据∠B=20°，∠C=60°，利用三角形的内角和是180°得出∠BAC的度数，再根据AE是角平分线，AD是高，分别得出∠EAC和∠DAC的度数，进而求出∠AEC和∠EAD；
（2）根据∠B与∠C，利用三角形的内角和是180°得出∠BAC的度数，再根据AE是角平分线，AD是高，分别得出∠EAC和∠DAC的度数，那么①②③中∠EAD=∠EAC-∠DAC，④中∠EAD=∠DAC-∠EAC；
（3）它的证明过程同（2），只不过把∠B和∠C的度数用字母代替，从而用字母表示出各个角的度数．

解答：解：（1）（1）∵∠B=20°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-20°-60°=100°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=50°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠CAD=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=50°-30°=20°，
∴∠AEC=180°-∠EAC-∠C=180°-50°-60°=70°；

（2）①∵∠B=30°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-30°-60°=90°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=45°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=45°-30°=15°；
②∵∠B=50°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-50°-60°=70°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=35°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=35°-30°=5°；
③∵∠B=60°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-60°-60°=60°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=30°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=30°-30°=0°；
④∵∠B=70°，∠C=60°，
∴∠BAC=180°-70°-60°=50°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=25°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=30°，
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=30°-25°=5°；
故答案为：15°，5°，0°，5°；

（3）当α＜β时，
∵∠B=α°，∠C=β°，
∴∠BAC=180°-α°-β°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=（90-

α-

β）°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-β°，
∴∠EAD=∠EAC-∠DAC=[（90-

α-

β）°-（90°-β°）]=

（β-α）°；
当α＞β时，
∵∠B=α°，∠C=β°，
∴∠BAC=180°-α°-β°，
∵AE是角平分线，
∴∠EAC=（90-

α-

β）°，
∵AD是高，
∴∠ADC=90°，
∴∠DAC=90°-β°，
∴∠EAD=∠DAC-∠EAC=[（90°-β°）-（90-

α-

β）°]=

（α-β）°．
答：当α＜β时，∠EAD=

（β-α）°，当α＞β时，∠EAD=

（α-β）°．

点评：此题考查了三角形内角和定理和三角形的角平分线、高、中线，解题的关键是根据三角形的内角和是180°，分别求出各个角的度数．

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