Question

已知二次函数y=-x²+bx+c的图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（-1，0），与y轴的交点坐标为（0，3）．
（1）求出b，c的值，并写出此二次函数的解析式；
（2）根据图象，直接写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围；
（3）当

1

2

≤x≤2时，求y的最大值．

Answer 1

考点：待定系数法求二次函数解析式,二次函数的性质,二次函数的最值

专题：计算题

分析：（1）先把（-1，0），（0，3）代入y=-x²+bx+c得到关于b、c的方程组，解方程组求出b、c，从而确定二次函数的解析式；
（2）先确定抛物线与x轴的两交点坐标，然后观察函数图象得到当-1＜x＜3时，函数图象都在x轴上方，即y＞0；
（3）先把解析式配成顶点式得到y=-（x-1）²+4，则抛物线的对称轴为直线x=1，由于

1

2

≤x≤2，根据二次函数的性质求解．

解答：解：（1）将（-1，0），（0，3）代入y=-x²+bx+c得

-1-b+c=0 c=3

，
解得

b=2 c=3

，
所以二次函数的解析式为y=-x²+2x+3；
（2）把y=0代入y=-x²+2x+3得-x²+2x+3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
所以当-1＜x＜3，y＞0；
（3）y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
抛物线的对称轴为直线x=1，
∵

1

2

≤x≤2，
∴当x=1时，y的最大值为4．

点评：本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．也考查了二次函数的性质．