Question

某公园有一斜坡形的草坪（如图1），其倾斜角∠COx为30°，该斜坡上有一棵小树AB（垂直于水平面），树高（

2 3

3

-

1

3

）米．现给该草坪洒水，已知点A与喷水口点O的距离OA为

2

3

3

米，建立如图2的平面直角坐标系，在喷水的过程中，水运行的路线是抛物线y=-

1

3

x²+bx，且恰好过点B，最远处落在草坪的点C处．

（1）求b的值；
（2）求直线OC的解析式：
（3）在喷水路线上是否存在一点P，使P到OC的距离最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的应用

专题：

分析：（1）首先表示出B点横纵坐标，进而利用待定系数法求一次函数解析式；
（2）首先求出A点坐标，进而利用待定系数法求解析式即可；
（3）将两函数解析式联立进而求出交点坐标，进而得出当x=

3

时，由题意可知当S_△POC最大为

3

时则使P到OC的距离最大，即可得出答案．

解答：解：（1）点B的横坐标x=OAcos30°=

2 3

3

×

3

2

=1，
点B的纵坐标y=OAsin30°+AB=

3

3

+（

2 3

3

-

1

3

）=

3

-

1

3

，
∴B（1，

3

-

1

3

）．将B（1，

3

-

1

3

）代入y=-

1

3

x²+bx，
有

3

-

1

3

=-

1

3

×1²+b，
解得：b=

3

；

（2）∵直线OC的倾斜角为30°，点A与喷水口点O的距离OA为

2

3

3

米，
∴A点的纵坐标为：

3

3

，横坐标为：1，设直线解析式为：y=kx，
∴

3

3

=k，
∴OC的解析式为：y=

3

3

x；

（3）联立

y= 3 3 x y=- 1 3 x2+ 3 x

，
解得：

x1=0 y1=0

，

x2=2 3 y2=2

，
∴交点坐标为：（0，0），（2

3

，2），
∴C的坐标为（2

3

，2）．

如图2，设P（x，-

1

3

x²+

3

x），
由题意可知当S_△POC最大为

3

时则使P到OC的距离最大，
过P作PH⊥OC于H，则|PH|=

3

2

PM=

3

2

×（-

1

3

x²+

3

x-

3

3

x）=-

3

6

x2+x，
∴S_△POC=

1

2

OC×PH=

1

2

×4×（-

3

6

x²+x）=-

3

3

x²+2x=-

3

3

（x-

3

）²+

3

≤

3

，
当x=

3

时，S_△POC最大为

3

．
故：存在一点P（

3

，2），使P到OC的距离最大，此时S_△POC=

3

．

点评：此题主要考查了二次函数的应用以及二次函数最值求法和待定系数法求函数解析式，得出C点坐标是解题关键．