Question

（1）如图①，若BC=6，AC=4，∠C=60°，求△ABC的面积S_△ABC；
（2）如图②，若BC=a，AC=b，∠C=α，求△ABC的面积S_△ABC；
（3）如图③，四边形ABCD，AC=m，BD=n，对角线AC交于O点，他们所成锐角为β，求四边形ABCD的面积S_{四边形ABCD}．

Answer 1

考点：解直角三角形

专题：

分析：（1）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；
（2）过A作AM⊥BC于M，解直角三角形求出AM，再根据三角形面积公式求出即可；
（3）过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，解直角三角形求出AE、CF，根据三角形面积公式求出即可．

解答：解：
（1）如图①，过A作AM⊥BC于M，
则∠AMC=90°，
∵∠C=60°，AC=4，
∴AM=AC×sin60°=4×

3

2

=2

3

，
∵BC=6，
∴△ABC的面积S_△ABC=

1

2

×BC×AM=

1

2

×6×2

3

=6

3

；

（2）如图②，过A作AM⊥BC于M，
则∠AMC=90°，
∵∠C=α，AC=b，
∴AM=AC×sinα=b×sinα=bsinα，
∵BC=a，
∴△ABC的面积S_△ABC=

1

2

×BC×AM=

1

2

×a×bsinα=

1

2

absinα；

（3）如图3，过A作AE⊥BD于E，过C作CF⊥BD于F，BD=n，OA+OC=m，
∵AC、BD夹角为β，
∴AE=OA•sinβ，CF=OC•sinβ，
∴S_{四边形ABCD}=S_△ABD+S_△BDC
=

1

2

BD•AE+

1

2

BD•CF
=

1

2

BD•（AE+CF）
=

1

2

BD•（OA•sinβ+OC•sinβ）=

1

2

BD•AC•sinβ=

1

2

mnsinβ．
即四边形ABCD的面积S_{四边形ABCD}=

1

2

mnsinβ．

点评：本题考查了解直角三角形，三角形的面积的应用，此题比较难，解题时关键要找对思路，即原四边形的高已经发生了变化，只要把高求出来，一切将迎刃而解．