Question

12．如图，点B、E、F、C在同一直线上，点A、D位于BC同侧，AB=DC，BE=CF，∠B=∠C．
（1）求证：OA=OD；
（2）连接AE、DF、AD，请直接写出图中的全等三角形．

Answer 1

分析 （1）根据边与边的关系可找出BF=CE，再结合AB=DC，∠B=∠C，即可证出△ABF≌△DCE（SAS），从而可得出∠OEF=∠OFE，AF=DE，进而得出OE=OF，OA=OD，此题得证；
（2）依照题意画出图形，根据相等的边角关系可证出△AOE≌△DCF（SAS），△ABE≌△DCF（SAS），△AEF≌△DFE（SAS），△AED≌△DFA（SSS），结合（1）中的△ABF≌△DCE，即可得出全部的五组全等三角形．

解答 证明：（1）∵BE=CF，
∴BF=CE，
在△ABF和△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{BF=CE}\\{∠B=∠C}\\{AB=DC}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠OEF=∠OFE，AF=DE，
∴OE=OF，
∴AF-OF=DE-OE，
即OA=OD．
（2）解：依照题意画出图形，如图所示．
由（1）可知△ABF≌△DCE；
在△AOE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{∠AOE=∠DOF}\\{OA=OD}\end{array}\right.$，
∴△AOE≌△DCF（SAS）；
在△ABE和△DCF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=DC}\\{∠B=∠C}\\{BE=CF}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCF（SAS）；
在△AEF和△DFE中，$\left\{\begin{array}{l}{AF=DE}\\{∠AFE=∠DEF}\\{EF=FE}\end{array}\right.$，
∴△AEF≌△DFE（SAS）；
在△AED和△DFA中，$\left\{\begin{array}{l}{AD=DA}\\{AE=DF}\\{AF=DE}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DFA（SSS）．
故全等的三角形有：△ABF≌△DCE，△AOE≌△DCF，△ABE≌△DCF，△AEF≌△DFE，△AED≌△DFA．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：（1）证出△ABF≌△DCE（SAS）；（2）证出△AOE≌△DCF（SAS），△ABE≌△DCF（SAS），△AEF≌△DFE（SAS），△AED≌△DFA（SSS）．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，找出相等的边角关系，再证出两三角形全等是关键．