Question

操作探究：
我们知道一个三角形中有三条高线和三条中线．如图1，AD和AE分别是△ABC中BC边上的高线和中线，我们规定：k_A=

DE

BE′

，另外，对k_B、k_C作类似的规定．
（1）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则k_A的值为

1

，k_C的值为

1

2

；
（2）在每个小正方形边长均为1的4×4的方格纸上（如图3），画一个△ABC，使其顶点在格点（格点即每个小正方形的顶点）上，且k_A=2，面积也为2；
（3）判断下面三个命题的真假（真命题打“√”，假命题的打“×”）
①若△ABC中，k_A＜1，则△ABC为锐角三角形

×

；
②若△ABC中，k_A=1，则△ABC为直角三角形

√

；
③若△ABC中，k_A＞1，则△ABC为钝角三角形

√

．

Answer 1

分析：（1）根据kA的定义即可直接求解；CE⊥AB于E，CF是中线，可以证明△BCF是等边三角形，根据三线合一定理，以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可求解；
（2）k_A=2，则一定是钝角三角形，作出一边长是2，这边上的高也是2的三角形；
（3）根据（1）即可确定①是错误的；
②③根据k_A的值可以确定过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点的位置，即可确定三角形的形状．

解答：解：（1）在△ABC中，∠C=90°，∠A=30°时，BC边上的高，垂足就是点C，设中线是AD，则k_A=

CD

BD

=1；
CE⊥AB于E，CF是中线，则CF=

1

2

AB=BF，
又∵∠B=90°-30°=60°，
∴△BCF是等边三角形；
∴EF=BE=

1

2

BF=

1

2

AF，
∴k_C=

EF

AF

=

1

2

；

（2）作图如下：
；

（3）①（1）中k_C=

1

2

，而△ABC是直角三角形，故命题错误；
②k_A=1时，过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点一定重合，故三角新一定是直角三角形，故命题正确；
③k_A＞1时，过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点一定在边的延长线上，则三角形一定是钝角三角形，故命题正确．
故答案是：×，√，√．

点评：本题考查了三角形的作图，正确理解kA的意义，根据k_A的值可以确定过顶点A的高线的垂足与三角形的顶点的位置是关键．