Question

16．如图，在四边形ABCD中，对角线AC和BD相交于点O，AC=BD，M，P，N分别是边AB，BC，CD的中点，Q是MN的中点．
（1）求证：PQ⊥MN；
（2）判定△OEF的形状．

Answer 1

分析 （1）连接PM，PN，由三角形中位线定理可证明△PMN是等腰三角形，再由等腰三角形的性质即可证明PQ⊥MN；
（2）△OEF的形状是等腰三角形，由（1）中的条件可证明∠PMN=∠EFO，∠OEF=∠FNP，又因为∠PMN=∠PNM，所以∠EFO=∠OEF，所以△OEF是等腰三角形．

解答 （1）证明：
∵M，P分别是边AB，BC的中点，
∴AM=BM，BP=CP，
∴PM=$\frac{1}{2}$AC
∵DN=CN，BP=CP，
∴PN=$\frac{1}{2}$BD．
又∵AC=BD，
∴PM=PN，
∴P在MN的中垂线上，
∵MQ=NQ，
∴PQ⊥MN；
（2）△OEF的形状是等腰三角形，
理由如下：
∵PM∥AC，
∴∠PMN=∠EFO，
∵PN∥BD，
∴∠OEF=∠FNP，
又∵∠PMN=∠PNM，
∴∠EFO=∠OEF，
∴△OEF的形状是等腰三角形．

点评 本题考查了三角形中位线定理、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是正确添加辅助线，利用三角形中位线定理证明PM=PN．