Question

11．如图，正方形ABCD中，E为BC的中点，F在CD上，且AF=BC+CF，求证：AE平分∠BAF．

Answer 1

分析 延长AE交DC的延长线于G，由正方形的性质得出∠B=∠BCD=∠ECG=90°，AB=BC，证明△GCE≌△ABE，得出GC=AB，∠G=∠BAE，证出AF=GF，得出∠FAE=∠G，得出∠FAE=∠BAE即可．

解答 证明：延长AE交DC的延长线于G，如图所示：
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠BCD=∠ECG=90°，AB=BC，
∵E是BC的中点，
∴CE=BE，
在△GCE和△ABE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ECG=∠B}&{\;}\\{CE=BE}&{\;}\\{∠CEG=∠BEA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△GCE≌△ABE（ASA），
∴GC=AB，∠G=∠BAE，
∵AF=BC+CF，GF=GC+CF，
∴AF=GF，
∴∠FAE=∠G，
∴∠FAE=∠BAE，
∴AE平分∠BAF．

点评 本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证是解决问题的关键．