Question

如图，在等边△ADM中，BC∥MD交AM于C，交AD于B，延长BC到E，使CE=AM，过M作MF⊥BC于F，
求证：BF=EF．

Answer 1

证明：如图，连接BM，
∵在等边△ADM中，BC∥MD，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，
在等边△ADM中，AD=AM=DM，∠D=∠AMD=60°，
∴AD-AB=AM-AC，
即BD=MC，
∵BC∥MD，
∴∠ECM=∠AMD=60°，
∴∠ECM=∠D，
∵CE=AM，
∴CE=DM，
在△BDM和△CME中，，
∴△BDM≌△CME（SAS），
∴MB=ME，
∵MF⊥BC，
∴BF=EF（等腰三角形三线合一）．
分析：连接BM，先判定△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得AB=AC，然后求出BD=MC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠ECM=∠AMD=60°，然后求出∠ECM=∠D，再利用“边角边”证明△BDM和△CME全等，根据全等三角形对应边相等可得MB=ME，然后利用等腰三角形三线合一的性质证明即可．
点评：本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及等腰三角形三线合一的性质，作辅助线构造出全等三角形是解题的关键．