Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB=BC=4，M为腰BC上一点，且△ADM为等边三角形，则S_△CDM：S_△ABM=

 

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Answer 1

分析：过D点作DF⊥AB交于点F，根据三个直角三角形的斜边相等，运用勾股定理可求得DC、CM的长，即可解．

解答：解：过D点作DF⊥AB交于点F，则四边形BCDF为矩形，CD=BF，DF=CB，
∵△ADF，△DCM，△ABM为直角三角形，△ADM为等边三角形，已知AB=BC=4，
∴AD²=AF²+DF²，①
DM²=CD²+CM²，②
AM²=AB²+BM²，③
设CD=x，CM=y，
则由①②得：x²+y²=4²+（4-x）²④，
①③得：4²+（4-x）²=4²+（4-y）²⑤，
由⑤得x=y，代入④得：
x=4

3

-4；
S_△CDM=

1

2

（4

3

-4）²
S_△ABM=

1

2

×4×（4-4

3

+4）；
S_△CDM：S_△ABM=2：1．
故答案填：2：1．

点评：本题考查了梯形、矩形、直角三角形、等边三角形的性质，解决此类题要懂得用梯形的常用辅助线，把梯形分割为矩形和直角三角形，从而由矩形和直角三角形的性质来求解．熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键．