Question

如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，∠A=45°．AB=30，BC=x，其中15＜x＜30．作DE⊥AB于点E，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在F处，DF交BC于点G．
（1）用含有x的代数式表示BF的长．
（2）设四边形DEBG的面积为S，求S与x的函数关系式．
（3）当x为何值时，S有最大值，并求出这个最大值．
[参考公式：二次函数y=ax²+bx+c图象的顶点坐标为（-

b

2a

，

4ac-b2

4a

）]．

Answer 1

（1）由题意，得EF=AE=DE=BC=x，AB=30，
∴BF=2x-30．

（2）∵∠F=∠A=45°，∠CBF=∠ABC=90°，
∴∠BGF=∠F=45°．
∴BG=BF=2x-30，
∴S=S△DEF-S△GBF=

1

2

DE2-

1

2

BF2
=

1

2

x2-

1

2

(2x-30)2
=-

3

2

x2+60x-450．

（3）S=-

3

2

x2+60x-450=-

3

2

(x-20)2+150．
∵a=-

3

2

＜0，15＜20＜30，
∴当x=20时，S有最大值，最大值为150