Question

等腰△ABC，AB=AC，∠BAC=120°，P为BC的中点，小慧拿着含30°角的透明三角板，使30°角的顶点落在点P，三角板绕P点旋转．
（1）如下左图，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）操作：将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．
①探究1：△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
②探究2：连结EF，△CPF∽△PEF吗？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）利用等腰三角形的性质推知∠B=∠C；由三角形内角和定理、等量代换推知∠BEP=∠CPF，则由“两角法”证得△BPE∽△CFP；
（2）相似．证法同（1）；
（3）由（1）中的相似三角形易得

PE

FP

=

BP

CF

，即

PE

FP

=

CP

CF

．又∠EPF=∠C=30°，则由“两边及其夹角法”证得△CPF∽△PEF．

解答：证明：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C． 
又∵∠BAC=120°，∴∠B=∠C=30°，∠BPE+∠BEP=150°．
又∵∠EPF=30°，∠BPE+∠CPF=150°，
∴∠BEP=∠CPF，
∴△BPE∽△CFP；

（2）证法同（1），△BPE与△CFP还相似；

（3）△BPE∽△CFP．
理由如下：
∵△BPE∽△CFP
∴

PE

FP

=

BP

CF

．
∵BP=CP，
∴

PE

FP

=

CP

CF

．
又∵∠EPF=∠C=30°，
∴△CPF∽△PEF．

点评：本题考查了相似三角形的判定，旋转的性质．旋转前后的对应角相等．