Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=20cm，CD=25cm．动点P、Q同时从A点出发：点P以3cm/s的速度沿A?D?C的路线运动，点Q以4cm/s的速度沿A?B?C的路线运动，且P、Q两点同时到达点C．
（1）求梯形ABCD的面积；
（2）设P、Q两点运动的时间为t（秒），四边形APCQ的面积为S（cm²），试求S与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，是否存在这样的t，使得四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）过点D作DE⊥BC于点E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm．
在Rt△DEC中，根据勾股定理得EC=15cm．由题意得=，
∴=．解得AD=5．
∴梯形ABCD的面积===250（cm²）．

（2）当P、Q两点运动的时间为t（秒）时，点P运动的路程为3t（cm），点Q运动的路程为4t（cm）．
①当0＜t≤时，P在AD上运动，Q在AB上运动．
此时四边形APCQ的面积S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△CDP=70t．
②当＜t≤5时，P在DC上运动，Q在AB上运动．
此时四边形APCQ的面积S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△ADP=34t+60．
③当5＜t＜10时，P在DC上运动，Q在BC上运动．
此时四边形APCQ的面积S=S_梯形ABCD-S_△ABQ-S_△ADP=-46t+460．

（3）①当0＜t≤时，由S=70t=250×，解得t=．
②当＜t≤5时，由S=34t+60=250×，解得t=．
又∵＜t≤5，
∴t=不合题意，舍去．
③当5＜t＜10时，由S=-46t+460=250×，
解得t=．
∴当t=或t=时，四边形APCQ的面积恰为梯形ABCD的面积的．
分析：（1）过点D作DE⊥BC于点E，由已知得AD=BE，DE=AB=20cm．在Rt△DEC中，根据勾股定理得EC=15cm．由题意得
=，由此可以求出AD的长，然后可以求出梯形的面积；
（2）设P、Q两点运动的时间为t，则点P运动的路程为3t（cm），点Q运动的路程为4t（cm）．
①当0＜t≤时，P在AD上运动，Q在AB上运动，此时四边形APCQ的面积S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△CDP=70t；
②当＜t≤5时，P在DC上运动，Q在AB上运动，此时四边形APCQ的面积S=S_梯形ABCD-S_△BCQ-S_△ADP=34t+60；
③当5＜t＜10时，P在DC上运动，Q在BC上运动，此时四边形APCQ的面积S=S_梯形ABCD-S_△ABQ-S_△ADP=-46t+460．
（3）根据（2）的函数关系式，分别把已知梯形面积的代入其中就可以求出相应的t，然后结合已知条件进行取舍
最后得到t的取值．
点评：在有关动点的几何问题中，由于图形的不确定性，我们常常需要针对各种可能出现的图形对每一种可能的情形都分别进行研究和求解．换句话说，分类思想在动态问题中运用最为广泛．