Question

（2012•潮阳区模拟）在一组数列：a₁，a₂，a₃，…，a_n中，已知a₁=1-

1

π

，且a₂=1-

1

a1

，a₃=1-

1

a2

，…，a_n=-

1

an-1

．
（1）求a₂，a₃，a₄；
（2）根据以上计算过程发现的规律可求出：a₂₀₁₂=

-

1

π-1

；
（3）求a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a₂₀₁₀a₂₀₁₁a₂₀₁₂．

Answer 1

分析：（1）将a₁的值代入a₂=1-

1

a1

中求出a₂的值，将a₂的值代入a₃=1-

1

a2

中求出a₃的值，将a₃的值代入a4=-

1

a3

即可求出a4的值；
（2）根据上述计算过程得到其值的规律以三个数循环，由2012除以3的余数为2，即可确定出所求的值；
（3）先计算出a₁a₂a₃的值，根据总结得到规律发现：a₁=a₄=a₇=…=a₂₀₁₁，a₂=a₅=a₈=…=a₂₀₁₂，a₃=a₆=a₉=…=a₂₀₁₀，进而得到a₁a₂a₃=a₂a₃a₄=a₃a₄a₅=…=a₂₀₁₀a₂₀₁₁a₂₀₁₂=-1，即可求出所求式子的值．

解答：解：（1）当a₁=1-

1

π

时，a₂=1-

1

a1

=1-

1

1- 1 π

=1-

π

π-1

=-

1

π-1

，
a₃=1-

1

1-a2

=1-

1

- 1 π-1

=π，a₄=1-

1

a3

=1-

1

π

；
（2）∵2012÷3=670…2，
∴a₂₀₁₂=-

1

π-1

；
（3）由（1）得：a₁a₂a₃=（1-

1

π

）×（-

1

π-1

）×π=-1；
且有一下规律：a₁=a₄=a₇=…=a₂₀₁₁，a₂=a₅=a₈=…=a₂₀₁₂，a₃=a₆=a₉=…=a₂₀₁₀，
∴a₁a₂a₃=a₂a₃a₄=a₃a₄a₅=…=a₂₀₁₀a₂₀₁₁a₂₀₁₂=-1，
则a₁a₂a₃+a₂a₃a₄+a₃a₄a₅+…+a₂₀₁₀a₂₀₁₁a₂₀₁₂=-1×2010=-2010．
故答案为：（2）-

1

π-1

点评：此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式，约分时分式的分子分母出现多项式，应将多项式分解因式后再约分．