Question

如图，在锐角△ABC内有一点P，直线AP，BP，CP分别交对边于Q₁，Q₂，Q₃，且∠PQ₁C=∠PQ₂A=∠PQ₃B．
试问：点P是否必为△ABC的垂心？如果是，请证明；如果不是，请举反例说明．

Answer 1

证明：设∠AQ₁C=∠AQ₂B=∠BQ₃C=α，
∵∠AQ₁C是四边形PQ₃BQ₁外角，∠AQ₂B是四边形PQ₁CQ₂的外角，∠BQ₃C是四边形PQ₂AQ₃的外角，
∴P、Q₁、C、Q₂，P、Q₂、A、Q₃，P、Q₃、B、Q₁分别四点共圆，
如图，连接Q₁Q₂，
∵∠CQ₂Q₁=∠CPQ₁=∠CBQ₃，
∴Q₂、A、B、Q₁四点共圆，
于是∠AQ₂B=∠AQ₁B，即α=180°-α=α，
∴α=90°，
∴P是△ABC的垂心．
分析：首先假设∠AQ₁C=∠AQ₂B=∠BQ₃C=α，显然只要证明α=90°，即P是△ABC的垂心即可．因而根据若平面上四点连成四边形的一个外角等于其内对角，四点共圆．则P、Q₁、C、Q₂，P、Q₂、A、Q₃，P、Q₃、B、Q₁分别四点共圆．连接Q₁Q₂，根据圆内接四边形的对角和为180°，并且任何一个外角都等于它的内对角；同弧所对的圆周角相等．则可得到∠CQ₂Q₁=∠CPQ₁=∠CBQ₃，即可确定Q₂、A、B、Q₁四点共圆．观察图形根据∠AQ₂B与∠AQ₁B是同弧所对的圆周角，∠AQ₁C与∠AQ₁B两角互补．那么可求出∠AQ₁C的度数．问题得解．
点评：本题考查了三角形垂心与圆，四点共圆的判定与性质，是一道综合性较强的题目．