Question

如图所示，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于E点，点D是BC边的中点，连接DE．
（1）请判断DE与⊙O是怎样的位置关系？请说明理由．
（2）若⊙O的半径为4，DE=3，求AE的长．

Answer 1

解：（1）相切．
证明：连接OE，BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB=90°，
∴BE⊥AC，
∴在Rt△BEC中，点D是BC边的中点，
∴DE=BD=CD=BC，
∴∠3=∠4，
∵∠ABC=90°，OB=OE，
∴∠1=∠2，∠1+∠4=90°，
∴∠2+∠3=90°，
∴DE⊥OE，
∴DE是⊙O的切线；

（2）∵∠AEO+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠AEO=∠3，
∵OA=OE，
∴∠A=∠AEO，
∵∠3=∠4，
∴∠AEO=∠4，
∴△AEO∽△EBD，
∴，
设AE=x，则BE==，
∴，
∴x=6.4．
∴AE=6.4．
分析：（1）首先作辅助线：连接OE，BE，由AB是⊙O的直径，即可证得∠AEB=90°，又由点D是BC边的中点，即可证得DE=BD，则得∠3=∠4，由∠1=∠2，∠1+∠4=90°，即可证得：DE⊥OE，则可得DE是⊙O的切线；
（2）首先证得△AEO∽△EBD，根据相似三角形的对应边成比例，利用方程思想求解即可求得AE的长．
点评：此题考查了相似三角形的判定与性质，以及圆的切线的判定与性质等知识．此题综合性较强，解题时要注意数形结合思想的应用，还要注意圆中的常见辅助线的作法．