Question

如图，已知点C是∠MAN的平分线上一点，CE⊥AB于E，B、D分别在AM、AN上，且AE=

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2

（AD+AB）．问：∠1和∠2有何关系？

Answer 1

分析：通过作辅助线，由三角形全等得到AF=AE或AF=AD，由已知条件从而证得．

解答：略证：∠1与∠2互补．
法1：作CF⊥AN于F（如图），
∵∠3=∠4，CE⊥AM，
∴CF=CE，∠CFA=∠CEA=90°，
在Rt△ACF≌Rt△ACE（HL），
∴AF=AE．
∵AE=

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2

（AD+AB）=

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2

（AF-DF+AE+EB）=AE+

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（BE-DF），
∴BE-DF=0，
∴BE=DF，
∴△DFC≌△BEC（SAS），
∴∠5=∠2，
∵∠1+∠5=180°，
∴∠1+∠2=180°；

法2：在AM上截取AF=AD，连接CF（如图），
∵∠3=∠4，AC为公共边，
∴△ADC≌△AFC，
∴∠1=∠5，
∵AE=

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（AD+AB）=

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（AF+AE+EB）=

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（AE-EF+AE+EB），
∴EB-EF=0，所以EF=EB，
又∵CE⊥AB，
∴BC=FC，∴∠2=∠6，
∵∠5+∠6=180°，
∴∠1+∠2=180°．

点评：本题利用角平分线性质，作辅助线得到三角形全等，并利用已知条件来求得．