Question

已知：如图，AB=AC，PB=PC，PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E．
（1）求证：PD=PE；
（2）若AB=BP，∠DBP=45°，AP=2，求四边形ADPE的面积．

Answer 1

分析：（1）连接AP，构造全等三角形，再根据角平分线的性质即可证明；
（2）设DP=x，根据等腰直角三角形的性质表示出BP，则可表示出AB，根据勾股定理即可求解．

解答：（1）证明：连接AP．
在△ABP和△ACP中，
∵AB=AC，PB=PC，AP=AP，
∴△ABP≌△ACP（SSS）．
∴∠BAP=∠CAP，
又∵PD⊥AB，PE⊥AC，垂足分别为D、E，
∴PD=PE（角平分线上点到角的两边距离相等）．

（2）解：∵PD⊥AB，∠DBP=45°，
∴△BDP是等腰直角三角形
设DP=x，则BP=

2

x．
在直角△ADP中，
由勾股定理，得
x2+[(1+

2

)x]2=4，
整理得(4+2

2

)x2=4，
x2=

2

2+ 2

．
∴四边形ADPE的面积=2×△APD的面积=x(1+

2

)x=(1+

2

)•

2

2+ 2

=

2

．

点评：综合运用全等三角形的判定和性质、角平分线的性质以及勾股定理．