Question

如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．
（1）求证：AC=AD+CE；
（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；
（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；
（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）

Answer 1

（1）证明：∵BD⊥BE，
∴∠1+∠2=180°-90°=90°，
∵∠C=90°，
∴∠2+∠E=180°-90°=90°，
∴∠1=∠E，
∵在△ABD和△CEB中，
，
∴△ABD≌△CEB（AAS），
∴AB=CE，
∴AC=AB+BC=AD+CE；

（2）（i）如图，过点Q作QF⊥BC于F，

则△BFQ∽△BCE，
∴=，
即=，
∴QF=BF，
∵DP⊥PQ，
∴∠ADP+∠FPQ=180°-90°=90°，
∵∠FPQ+∠PQF=180°-90°=90°，
∴∠ADP=∠FPQ，
又∵∠A=∠PFQ=90°，
∴△ADP∽△FPQ，
∴=，
即=，
∴5AP-AP²+AP•BF=3•BF，
整理得，（AP-BF）（AP-5）=0，
∵点P与A，B两点不重合，
∴AP≠5，
∴AP=BF，
由△ADP∽△FPQ得，=，
∴=；

（ii）线段DQ的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ的中位线MN．

由（2）（i）可知，QF=AP．
当点P运动至AC中点时，AP=4，∴QF=．
∴BF=QF×=4．
在Rt△BFQ中，根据勾股定理得：BQ===．
∴MN=BQ=．
∴线段DQ的中点所经过的路径（线段）长为．
分析：（1）根据同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角边”证明△ABD和△CEB全等，根据全等三角形对应边相等可得AB=CE，然后根据AC=AB+BC整理即可得证；
（2）（i）过点Q作QF⊥BC于F，根据△BFQ和△BCE相似可得=，然后求出QF=BF，再根据△ADP和△FPQ相似可得=，然后整理得到（AP-BF）（5-AP）=0，从而求出AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得=，从而得解；
（ii）判断出DQ的中点的路径为△BDQ的中位线MN．求出QF、BF的长度，利用勾股定理求出BQ的长度，再根据中位线性质求出MN的长度，即所求之路径长．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全等的条件∠1=∠E是解题的关键，（2）（i）根据两次三角形相似求出AP=BF是解题的关键，（ii）判断出路径为三角形的中位线是解题的关键．